解析几何课5二次曲线.pptVIP

第五章 二次曲线的一般理论 §5.1 二次曲线与直线的相关位置 §5.3 二次曲线的切线 §5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线 §5.4 二次曲线的直径 §5.6 二次曲线方程的化简与分类 §5.5 二次曲线的主直径和主方向 第五章 二次曲线的一般理论 在平面上，由二元二次方程 所表示的曲线，叫做二次曲线。在这一章里，我们将讨论二次曲线的几何性质，以及二次曲线的化简，最后对二次曲线进行分类。 下一页 返回 为了方便起见，特引进一些记号： 上一页 下一页 返回 上一页 返回 讨论二次曲线 与直线 的交点，可以采用把直线方程（2）代入曲线方程（1）然后讨论关于t的方程 （1） （2） §5.1 二次曲线与直线的相关位置 下一页 返回 （3） （4） 对（3）或（4）可分以下几种情况来讨论： 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 返回 1.二次曲线的渐近方向 定义5.2.1满足条件Φ(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向. 定义5.2.2没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的，有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的，有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的. 即1)椭圆型：I20 2)抛物型： I2＝0 3)双曲型： I20 §5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线 下一页 返回 2. 二次曲线的中心与渐近线 定义5.2.3 如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫做二次曲线的中心. 定理5.2.1 点C(x0 ,y0)是二次曲线(1)的中心，其充要条件是： 推论 坐标原点是二次曲线的中心，其充要条件是曲线方程里不含x与y的一次项. 上一页 下一页 返回 二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定： 如果I2≠0，则(5.2－2)有唯一解，即为唯一中心坐标 如果I2＝0，分两种情况： 上一页 下一页 返回 定义5.2.4 有唯一中心的二次曲线叫中心二次曲线，没有中心的二次曲线叫无心二次曲线，有一条中心直线的二次曲线叫线心二次曲线，无心二次曲线和线心二次曲线统称为非中心二次曲线. 定义5.2.5 通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线. 定理5.2.2 二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上 成为二次曲线的组成部分. 上一页 返回 定义5.3.1 如果直线与二次曲线相交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，这个重合的交点叫做切点，如果直线全部在二次曲线上，我们也称它为二次曲线的切线，直线上的每个点都可以看作切点. 定义5.3.2 二次曲线(1)上满足条件F1(x0,y0)= F2(x0,y0)=0的点(x0,y0)叫做二次曲线的奇异点，简称奇点；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常点. §5.3 二次曲线的切线 下一页 返回 定理5.3.1 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么通过(x0,y0)的切线方程是 (x-x0)F1 (x0,y0)+ (y-y0)F2 (x0,y0)=0， (x0,y0)是它的切点. 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的奇异点，那么通过(x0,y0)的切线不确定，或者说过点(x0,y0)的每一条直线都是二次曲线(1)的切线. 推论 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么通过(x0,y0)的切线方程是： 上一页 下一页 返回 例1 求二次曲线x2-xy+y2+2x-4y-3=0在点(2,1)的切线方程 解：因为F(2,1)=4-2+1+4-4-3=0, 且 F1(2,1)=5/2≠0, F 2 (2,1)=-2 ≠0 所以(2,1)是二次曲线上的正常点，因此得在 点(2,1)的切线方程为： 5/2 (x-2)-2(y-1)=0 即：5x-4y-6=0 上一页 返回 1.二次曲线的直径 定理5.4.1 二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是一条直线. 定义5.4.1 二次曲线的平行弦中点轨迹叫做这个二次曲线的直径，它所对应的平行弦，叫做共轭于这条直径的共轭弦；而直径也叫做共轭于平行弦方向的直径. §5.4 二次曲线的直径 下一页 返回 推论 二次曲线的一族平行弦的斜率为k，那么共轭于这族平行弦直径方程为