[必威体育精装版]圆锥曲线题型总结.docVIP

直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识： 1、中点坐标公式：，其中是点的中点坐标。 2、弦长公式：若点在直线上， 则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， 或者 。 3、两条直线垂直：则 两条直线垂直，则直线所在的向量 4、韦达定理：若一元二次方程有两个不同的根，则。 常见的一些题型： 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点的问题 题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：共线向量问题 题型六：面积问题 题型七：弦或弦长为定值问题 题型八：角度问题 问题九：四点共线问题 问题十：范围问题（本质是函数问题） 问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆） 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线与椭圆始终有交点，求的取值范围 解：根据直线的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆过动点，如果直线和椭圆始终有交点，则，即。 规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点： 题型二：弦的垂直平分线问题 例题2、过点T(-1,0)作直线与曲线N ：交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线，，，。由消y整理，得 = 1 \* GB3 ①由直线和抛物线交于两点，得即 = 2 \* GB3 ②由韦达定理，得：。则线段AB的中点为。线段的垂直平分线方程为：令y=0,得，则为正三角形，到直线AB的距离d为。解得满足 = 2 \* GB3 ②式此时。 题型三：动弦过定点的问题 例题3、已知椭圆C：的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。（ = 1 \* ROMAN I）求椭圆的方程；（ = 2 \* ROMAN II）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论 解：（ = 1 \* ROMAN I）由已知椭圆C的离心率，,则得。从而椭圆的方程为（ = 2 \* ROMAN II）设，，直线的斜率为,则直线的方程为，由消y整理得是方程的两个根，则，，即点M的坐标为，同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为，直线MN的方程为：，令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化简后得：又，椭圆的焦点为，即故当时，MN过椭圆的焦点。题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 例题4、已知点A、B、C是椭圆E： 上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且，，如图。( = 1 \* ROMAN I)求点C的坐标及椭圆E的方程；( = 2 \* ROMAN II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线对称，求直线PQ的斜率。 解：( = 1 \* ROMAN I) ，且BC过椭圆的中心O又点C的坐标为。A是椭圆的右顶点，，则椭圆方程为：将点C代入方程，得，椭圆E的方程为( = 2 \* ROMAN II) 直线PC与直线QC关于直线对称，设直线PC的斜率为，则直线QC的斜率为，从而直线PC的方程为：，即，由消y，整理得：是方程的一个根，即同理可得：＝＝＝则直线PQ的斜率为定值。 题型五：共线向量问题 例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M：于P、Q两点，且,求实数的取值范围。 解：设P(x1,y1),Q(x2,y2),(x1,y1-3)=(x2,y2-3)即 判别式法、韦达定理法、配凑法设直线PQ的方程为：，由消y整理后，得P、Q是曲线M上的两点＝ 即 = 1 \* GB3 ①由韦达定理得： 即 = 2 \* GB3 ②由 = 1 \* GB3 ①得，代入 = 2 \* GB3 ②，整理得 ， 解之得当直线PQ的斜率不存在，即时，易知或。总之实数的取值范围是。 题型六：面积问题 例题6、已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。 （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值。 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为。 （Ⅱ）设，。（1）当轴时，。（2）当与轴不垂直时， 设直线的方程为。由已知，得。 把代入椭