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第二宇宙速度公式推导及应用
第二宇宙速度公式推导及应用 兰州市第二中学 王国士 高中数学新教材增加了微积分的知识, 本文用积分方法推导第二宇宙速度的计算公式。 设地球的质量为,半径为，发射地面附近的人造地球卫星必须具有的速度叫第一宇宙速度。由万有引力定律及牛顿第二定定律得： 解得： 人造地球卫星脱离地球引力束缚飞到无限远处所必须具有的速度必须具有的速度叫第二宇宙速度。 卫星在地面上具有的动能应等于它从地面附近运动到无限远处克服重力所做的功,则： 由以上两式 例题：质量为的人造地球卫星在距地心为的轨道上绕地球做匀速圆周运动，现该将该卫星通过变轨后在距地心为的轨道上绕地球做匀速圆周运动，至少需要增加多少能量? （地球表面的重力加速度为g） 分析与解：质量为m的人造地球卫星在距地心为和处的动能和重力势能分别为： 万有引力提供卫星做匀速圆周??动，则： 在地球表面附近有： 由以上两式得，人造地球卫星在距地心为处的轨道上的动能为： 则质量为m的人造地球卫星在距地心为和处的动能分别为： 设卫星在无限远处的重力势能为零，地球的质量为,则质量为的人造地球卫星在距地心为()的轨道移到无限远处的过程中，克服地球的引力所做的功等于卫星重力势能的增量，由万有引力定律及牛顿第二定律得： 将代入上式得，卫星在距地心为处的重力势能为： 则质量为的卫星在距地心为和处的重力能分别为： 将质量为的人造地球卫星在距地心为的近轨道转移到的远轨道需要增加的能量为：
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