计量地理学第3章统计分析方法5主成分分析.pptVIP

第三章;;主成分分析的原理 主成分分析的解法 主成分分析方法应用实例;问题的提出;1 主成分分析方法的基本原理 ; 当p较大时，在p维空间中考察问题比较麻烦。为了克服这一困难，就需要进行降维处理. 要求：较少的几个综合指标尽量多地反映原来较多变量指标所反映的信息，同时它们之间又是彼此独立的;例，成绩数据;对于多维变量的情况和二维类似，也有高维的椭球，只不过无法直观地看见 首先把高维椭球的主轴找出来，再用代表大多数数据信息的最长的几个轴作为新变量；这样，主成分分析就基本完成 注意，和二维情况类似，高维椭球的主轴也是互相垂直的。这些互相正交的新变量是原先变量的线性组合，叫做主成分.;正如二维椭圆有两个主轴，三维椭球有三个主轴一样，有几个变量，就有几个主成分 选择越少的主成分，降维就越好。什么是标准呢？那就是这些被选的主成分所代表的主轴的长度之和占了主轴长度总和的大部分。有些文献建议，所选的主轴总长度占所有主轴长度之和的大约85%即可，其实，这只是一个大体的说法；具体选几个，要看实际情况而定;定义：记x1，x2，…，xP为原变量指标，z1，z2，…，zm（m≤p）为新变量指标;; ;2 主成分分析的解法;;;;计算特征值和特征向量 根据特征方程 计算特征值，即解 的特征多项式，求 并使特征值按从大到小的顺序排列，即 列出关于每个特征值的特征向量 ;计算主成分贡献率及累计贡献率 ▲贡献率:;计算主成分载荷(主成分Zk与变量xi之间的相关系数) 　　　 ;各主成分的得分： ;§3 特征值与特征向量的计算方法;二维情况;雅可比法的计算步骤;;假设在原始矩阵的对角线以外元素中，以的绝对值为最大。设，作一个转轴变换 ;;;;;;;;例2,根据表1中给出的数据，对某农业生态经济系统做主成分分析;;步骤如下：将表中的数据作标准差标准化处理，然后将它们代入公式计算相关系数矩阵 ; （2）由相关系数矩阵计算特征值，以及各个主成分的贡献率与累计贡献率（见表3）。由表3可知，第一，第二，第三主成分的累计贡献率已高达86.596%（大于85%），故只需要求出第一、第二、第三主成分z1，z2，z3即可。 ;表3　特征值及主成分贡献率 ; （3）对于特征值=4.6610，=2.0890，=1.0430分别求出其特征向量e1，e2，e3，再用公式计算各变量x1，x2，…，x9在主成分z1，z2，z3上的载荷（表4）。 ;表4 主成分载荷 ; ①第一主成分z1与x1，x5，x6，x7，x9呈显出较强的正相关，与x3呈显出较强的负相关，而这几个变量则综合反映了生态经济结构状况，因此可以认为第一主成分z1是生态经济结构的代表。 ②第二主成分z2与x2，x4，x5呈显出较强的正相关，与x1呈显出较强的负相关，其中，除了x1为人口总数外，x2，x4，x5都反映了人均占有资源量的情况，因此可以认为第二主成分z2代表了人均资源量;显然，用三个主成分z1、z2、z3代替原来9个变量（x1，x2，…，x9），描述农业生态经济系统，可以使问题更进一步简化、明了;;;步骤如下：（1）将表3.4.5中的数据作标准差标准化处理，然后将它们代入公式（3.5.4）计算相关系数矩阵（见表3.5.1）。 ; （2）由相关系数矩阵计算特征值，以及各个主成分的贡献率与累计贡献率（见表3.5.2）。由表3.5.2可知，第一，第二，第三主成分的累计贡献率已高达86.596%（大于85%），故只需要求出第一、第二、第三主成分z1，z2，z3即可。 ;表3.5.2　特征值及主成分贡献率 ; （3）对于特征值=4.6610，=2.0890，=1.0430分别求出其特征向量e1，e2，e3，再用公式（3.5.5）计算各变量x1，x2，…，x9在主成分z1，z2，z3上的载荷（表3.5.3）。 ;表3.5.3 主成分载荷 ; ①第一主成分z1与x1，x5，x6，x7，x9呈显出较强的正相关，与x3呈显出较强的负相关，而这几个变量则综合反映了生态经济结构状况，因此可以认为第一主成分z1是生态经济结构的代表。 ②第二主成分z2与x2，x4，x5呈显出较强的正相关，与x1呈显出较强的负相关，其中，除了x1为人口总数外，x2，x4，x5都反映了人均占有资源量的情况，因此可以认为第二主成分z2代表了人均资源量。 ;显然，用三个主成分z1、z2、z3代替原来9个变量（x1，x2，…，x9），描述农业生态经济系统，可以使问题更进一步简化、明了。 ;