计算方法第7章(r).pptVIP

第七章 矩阵的特征值与特征向量;第一节 乘幂法与反幂法 1.1 乘幂法：用于求矩阵的模（绝对值）最大的特征值。 记矩阵 A 的特征值为： 相应的特征向量为： 任取非零向量 ，记 则有： 这里， 表示向量的第 i 个分量;具体计算时，对于任意取的初始向量，按以下格式计算： ;例子：求矩阵的模最大特征值及其特征向量 计算结果 程序;%用乘幂法计算矩阵模最大的特征值和相应的特征向量 A=[-1,2,1;2,-4,1;1,1,-6] z0=[1,1,1]; errtel=1e-6; er=1; k=0; while ererrtel k=k+1; yk=A*z0; [c,p]=max(abs(yk)); mk=yk(p) zk=yk/mk; er=norm(zk-z0); z0=zk; end k,mk,zk;1.2 加速技术： 显然，乘幂法的收敛速度依赖 ，如此比值接近1，则收敛速度会很慢。;埃特金加速： 可以证明：乘幂法线性收敛 称为收敛率;由于 线性收敛于 ，于是可以对之进行埃特金加速， 以上是计算特征向量的埃特金加速，同样可以得到关于计算特 征值的埃特金加速，;1.3 反幂法 如果 A 非奇异，用其逆矩阵代替 A 进行乘幂法，称为反幂法。 逆矩阵的特征值与A 互为倒数。即为： 用 A 的逆进行乘幂法，得到 迭代格式为：;为避免矩阵的求逆运算，通常也采取如下的算法： 每次迭代需要解 ，为此，可将 A 进行LR分解，则每次迭代只需解两个三角方程组 最后求得：;反幂法的一个主要应用是已知矩阵的近似特征值后，求其特征向量。 如果已求得矩阵某个特征值 的近似值 ，则 于是，用反幂法可以求出 的按模最小特征值及相应 的特征向量。此时，迭代为：;通常，初值选为： 这里，矩阵 L 为 分解中的单位下三角矩阵。 ;第二节 对称矩阵的雅可比方法 两个重要的基本性质： （1）如 A 为实对称矩阵，则一定存在正交矩阵 Q ，使之相似于一个对角矩阵，而该对角矩阵的对角元正是 A 的特征值。 （2）一个矩阵左乘一个正交矩阵或右乘一个正交矩阵，其E范数不变。;下面的矩阵是一个 n 阶正交矩阵：;2.1 雅可比算法 算法的思想： 设 A 为对称矩阵，选出 A 的除对角元外的所有元素中绝对值最大的一个，然后用前一页中的正交矩阵将此元化为零。 如此，产生一个新的阵，然后再重复上面的步骤，直到最后将A 化为对角矩阵，则对角元就是所要求的特征值！ 将上述过程数学化，首先，记 ，则;第 k 步迭代矩阵的元素为： 为使 ，必须;在这里，我们通常，限制 ，如果 ， 当 时，取 ，当 时， 在具体计算第 k 步迭代矩阵的元素时，需要计算正弦值和余弦值，通常按如下步骤计算：;实际计算中，一般预先给一个计算精度 ? ，当第 m 步满足 停止计算，这时， 则对角阵的对角元为特征值近似值，矩阵 P 的列向量为特征向量近似值。实际计算中，矩阵 P 是按如下步骤计算： ;最后，雅可比方法的计算步骤可以归纳为： （1）确定非对角绝对值最大元位置（p，q），并计算sin和cos的值； （2）计算迭代矩阵的元素； （3）计算特征向量； （4）与计算精度进行比较，以决定是否终止计算，并输出特征值和特征向量。;第三节 QR 分解方法 3.1 QR 分解 设 u 为n维实单位向量，称下面矩阵为Householder矩阵： 容易验证Householder矩阵为正交阵，同时又是对称阵： 对任意的向量 x 以及单位向量 g，存在Householder矩阵，使 特别，取 g = e = ( 1 , 0 , …… , 0);将矩阵 A 记为 于是，可以求得Householder矩阵，将 A 的第一个列向量化简。;对矩阵 又再重复前面的过程，即求出Householder矩阵 于是，我们记 则; 如此一直下去，