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第三节 二阶系统的阶跃响应 3.3 二阶系统的阶跃响应 1 一、典型二阶系统的数学模型 由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它在控制工程中的应用极为广泛。许多高阶系统在一定的条件下，也可简化为二阶系统来研究。 典型结构的二阶系统如图所示。 3.3 二阶系统的阶跃响应 2 3.3 二阶系统的阶跃响应 3 二、典型二阶系统的阶跃响应 3.3 二阶系统的阶跃响应 4 输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差 ： 误差曲线呈现等幅振荡形式。即系统在无阻尼情况下，不能跟踪输入的单位阶跃信号。 3.3 二阶系统的阶跃响应 5 3.3 二阶系统的阶跃响应 6 3.3 二阶系统的阶跃响应 7 3.3 二阶系统的阶跃响应 两阶系统的瞬态响应 8 输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差 ： 3.3 二阶系统的阶跃响应 9 3.3 二阶系统的阶跃响应 阶跃响应函数为： 两阶系统的瞬态响应 10 输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差 ： 随着时间的增加，误差越来越小，到稳态时误差变为零。通常，在临界阻尼情况下，二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应。 3.3.2 典型二阶系统的单位阶跃响应 3.3 二阶系统的阶跃响应 11 3.3 二阶系统的阶跃响应 两阶系统的瞬态响应 12 3.3 二阶系统的阶跃响应 因此过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的惯性环节的串联，其单位阶跃响应为 两阶系统的瞬态响应 13 3.3 二阶系统的阶跃响应 两阶系统的瞬态响应 14 由于-p1和-p2均为负实数，所以过阻尼二阶系统的单位阶跃响应由两个衰减的指数项组成。因而过阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线是非振荡的单调上升曲线。 3.3 二阶系统的阶跃响应 15 当阻尼系数 z远大于1，即 –p1-p2时，在两个衰减的指数项中，后者衰减的速度远远快于前者，即此时二阶系统的瞬态响应主要由前者来决定，或者说主要由极点–p1决定，因而过阻尼二阶系统可以由具有极点-p1的一阶系统来近似表示。 3.3 二阶系统的阶跃响应 16 3.3 二阶系统的阶跃响应 上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应如下表所示： 典型两阶系统的瞬态响应 17 3.3 二阶系统的阶跃响应 典型两阶系统的瞬态响应 18 3.3 二阶系统的阶跃响应 三、典型二阶系统的性能指标及其与系统参数的关系 衰减振荡瞬态过程的性能指标 19 3.3 二阶系统的阶跃响应 衰减振荡瞬态过程的性能指标 20 3.3 二阶系统的阶跃响应 衰减振荡瞬态过程的性能指标 21 3.3 二阶系统的阶跃响应 衰减振荡瞬态过程的性能指标 22 最大超调量仅与阻尼系数有关。 3.3 二阶系统的阶跃响应 衰减振荡瞬态过程的性能指标 23 3.3 二阶系统的阶跃响应 衰减振荡瞬态过程的性能指标 24 3.3 二阶系统的阶跃响应 25 3.3 二阶系统的阶跃响应 衰减振荡瞬态过程的性能指标 可见，写出调节时间的表达式是困难的。由右图可知响应曲线总在一对包络线之内。包络线为 根据调节时间的定义，当t≥ts时 |c(t)-c(∞)|≤ c(∞) ×Δ%。 26 3.3 二阶系统的阶跃响应 当t=t’s时，有： 由于实际响应曲线的收敛速度比包络线的收敛速度要快，因此可用包络线代替实际响应来估算调节时间。即认为响应曲线的包络线进入误差带时，调整过程结束。 衰减振荡瞬态过程的性能指标 27 3.3 二阶系统的阶跃响应 衰减振荡瞬态过程的性能指标 28 3.3 二阶系统的阶跃响应 衰减振荡瞬态过程的性能指标 29 3.3 二阶系统的阶跃响应 衰减振荡瞬态过程的性能指标 30 3.3 二阶系统的阶跃响应 ⒌ 振荡次数N： 由此可见振荡次数N仅与阻尼系数z 有关。 衰减振荡瞬态过程的性能指标 31 通常希望系统的输出响应既有充分的快速性，又有足够的阻尼。因此，为了获得满意的二阶系统瞬态响应特性，阻尼系数应选择在0.4和0.8之间。 3.3 二阶系统的阶跃响应 32 3.3 二阶系统的阶跃响应 33 当阻尼系数z一定时，无阻尼振荡频率wn越大，上升时间、峰值时间和调整时间越短，响应速度越快。 3.3 二阶系统的阶跃响应 34 阻尼系数z是二阶系统的一个重要参数，用它可