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求数列的通项公式 睢县回族高级中学 杨少辉 要想求数列的通项公式，首先要弄清楚一个问题。什么是数列的通项公式？数列的通项公式是指，用表示的一个等量关系式；相当于函数的解析式；通项公式对研究数列有着重要的意义。 显然，我们已经掌握了两种基本数列的通项公式。 等差数列的通项公式： （1）； （2）； 通过观察，我们发现等差数列的通项公式实际上是一个以为自变量，为函数值的一个一次函数；因此我们也可以将等差数列的通项公式设为的形式。 等比数列的通项公式： （1）； （2）； 我们也可以将等比数列的通项公式设成的形式。 下面，我们来研究其他一些简单的数列的通项公式的求法； 方法一：观察归纳法求数列的通项公式 例1、观察下列数列的特点，写出其一个通项公式： （1）2,22,222,2222，…… （2） （3） （4） 解析：解决这类问题，关键是观察规律；而观察规律最忌讳的就是就是化简；故求数列的通项公式切记不要先化简； （1）可以先求数列：9,99,999,9999，……的通项公式；；所以所求通项公式为：； （2）题干中应该进行了约分，故应先还原； ；显然； （3）观察后判断，分母应该都是2，还原后得：，可以求出通项公式是：； （4）观察后判断，应该都要含有根号：；通项公式为：； 方法二：累加法求数列的通项公式 适用条件：若数列满足：形式的递推公式，应该使用累加法求通项公式；最后实际上是求一个数列的前项和； 例2、在数列中，，，求； 解析：；类似等差数列，应采用累加法； 累加得：，解得：； （变式1）数列中，，，求； 解析：根据同性合并的思想（统一的思想）应该两边同时除以可得： ，继续往下推导可得： ； 累加得：； 解得：，即：； （变式2）数列中，，，求； （变式3）如图关于星星的图案中,第n个图案中星星的个数为 ,则数列的一个通项公式是 ； 分析：要求数列的通项公式，首先应该求递推公式；显然： ；累加可得： ； 方法三：累乘法求数列的通项公式 适用条件：若数列满足：形式的递推公式，应该使用累乘法求通项公式； ；最后求等式右边那个项积即可； 例3、已知数列的前项和为，且 ；求； 解析：（1）求首项：令可得：，解得：； （2）求数列的递推公式：；两式相减可得：； （3）累乘求通项：； （变式1）已知数列中，，前项和为，，求； 解析：（1）消掉，求递推公式；；两式相减可得：； （2）累乘，但只能累到；；时：； 故： ； （变式2）已知数列中，,，求； 方法三：迭代法求数列的通项公式 适用条件：迭代法实际是不断地将递推公式代入关于的式子中去求解的方法；一般出现递推公式反映了数列相邻两项的关系时使用；优点是降低了技术门槛，缺点是有的时候计算量较大； 例4、在数列中，，，求； 解析：； 例5、在数列中，，，求； 解析： ；迭代：； 继续迭代：；……. ； 例6、已知数列中，，，求； 解析： ；； ； ； 化简得：； 方法四：构造法求数列的通项公式 所谓的构造法就是将一些不是等差、等比形式的数列通过拼凑的方法转化成等差、等比数列来加以研究的方法； 类型一：形如，其中是常数； 例7、在数列中，，，求；（就是上面的例5） 解析：由于的系数与的系数比是3，应该可以通过适当的变形构造一个公比为3的等比数列； 法一：设；；由，利用待定系数法：可知：，即：数列是一个首项是，公比为3的等比数列； ，故：； 法二：也可以这样分析，实际上是因为常数2的存在，破坏了等比数列的结构；可以用作差的方法来消掉2； ，作差得：，所以：数列是一个等比数列；；然后用累加法： 解得：； （变形）形如：，其中为常数； 实际上用代替中的，可得：，通分可得：； 倒过来：；现在我们只需要倒过来做上面的过程即可； 例8、已知数列中，，求； 解析：原式可化为： ，，即：； 所以是一个等比数列；； 解得：； 类型二：形如：； 解题策略与类型一类似；但应该注意到，后面的不是一个常数，所以与后面加的式子不一样；要换成； 例9、已知数列满足： ，求； 解析： 法一：； ，采用待定系数法可得：，故数列是一个等比数列；；解得： ； 法二：可以先移项得：，应该联系到累加法；关键是平衡系数3； 可以两边同时除以可得：；不妨设，可得； ；，下面只需要用错位相减法求和即可；，； 例9、已知数列满足：，求； 解析： 法一：，化简得：，； 所以数列是等比数列；，故：； 法二：变形为，两边同除以平衡系数2促成累加法；； ；； 法三：对照“”，显然需要将转化成常数；可以两边同时除以；可得： ；，显然；数列是等比数列；故：；； 类型三：形如：，其中为常数； 例10、已知数列满足：，求； 解析：三项的问题，应该将某个部分看做一个整体，变成两项之间的关系； ；待定系数可得：；解