第4节IRn的基和向量关于基的坐标.pptVIP

第四节 IRn的基和向量关于基的坐标;定义1 设IR?n 中的向量组A ：α?1?, α?2, …, α??n 线性无关，β是IR?n中任一向量， 则β,α?1?, α?2, …, α??n线性相关（因为这 是n＋1个n维向量，向量个数大于向量维数），于是根据第三章第二节定理2知道向量β可以用α?1?, α?2, …, α??n唯一线性表示 β＝k1α?1?+ k2 α?2 + … + k n α??n 。 我们称向量组A：α?1?, α?2, …, α??n为空间 IR?n的一组基(basis), 把数k1, k2, …, kn称为 向量β在基α?1?, α?2, …, α??n下的坐标 (coordinate)，记为βA＝（k1, k2, …, kn）。;例1 验证α?1?＝(1，0，0)′, α?2＝(1，1，0)′, α?3＝(1，1，1)′为IR3 的一组基并求向量α＝(5，3，5)′在这组基 下的坐标。 解 显然，向量组α?1?，α?2，α?3?组成的矩 阵的行列式为;因此这三个向量线性无关，所以它们构成 IR3的一组基。??求向量α在这组基下的坐 标，实际上就是求解关于x 1, x 2, x 3的 方程组α＝ x 1 α?1＋ x 2 α?2 ＋x 3 α?3。 即 ;当然，对于同一向量β，若选定的基不同，则向量β的坐标一般而言也是不同的。 例如 e1＝(1, 0, 0)′, e2 ＝(0, 1, 0)′, e3＝(0, 0, 1)′是IR3的一组基 （我们通常称之为IR3的自然基） ;若我们所论及的向量均为列向量，则上式写成矩阵的形式为 ;我们称矩阵C为从基A ：α?1?, α?2, -…, α??n 到基B：β1，β??2，…，β??n的过渡矩阵。 ;定义1 设a＝(a1，a2，…，an)? - 和b＝(b1，b2， …，bn)? 是两个n维向量，规定a与b的内积为： (a ，b)＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn ， 有时也记为a?·?b＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn。 从矩阵的角度，显然 (a ，b)＝ a???b ＝ b?a 。;定义2 向量a的长度或模（length，modulus） 定义为 ;定理2 向量a和b正交（或垂直）的充分必要条件 是（a，b）＝?0。 ;施密特（Schmidt）正交化 ;这样我们从线性无关的向量组a1，a2，…，an出 发，得到标准正交向量组e1，e2，……，en， (显然，向量组e1，e2，……，en与向量组a1， a2，…，an等价)。此过程我们称为Schmidt正交 化过程。;解 取b1＝a1＝(1, ?1, 0)，则;正交矩阵;定义1 数域F上的线性空间(Linear space)V是一个非空集 合，它带有两个运算：加法（a，b?V为V中的元素，则a 加b记作a＋b）和数乘（λ?F为一个数，a?V为V中一个 元素，则λ与a的乘积记为λa），且V对这两种运算封闭 （即运算结果仍在V中）并满足如下八条运算规则： 1）a＋b＝b＋a；(加法的交换律) 2）(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(加法的结合律) 3）存在V中元素θ使得a＋θ＝a，其中θ称为V的零元素。 4）对V中任意元素a都存在元素b使得a＋b＝θ，其中b称为a 的负元素，记为b＝－a。因此a＋(－a)＝θ。 5）1a＝a； 6）s(ta)＝(st)a；(结合律) 7）(s＋t)a＝sa＋ta；(分配律) 8）s(a＋b)＝sa＋sb。(分配律) 其中a，b，c为V中任意元素，s，t为F中的任意数。 当F为实(复)数域时，称V为实(复)线性空间。;我们还是称线性空间中的元素为向量，且把线性空间称 为向量空间 ;维数为n的线性空间称为n维线性空间，记作dimV＝n。 若对于任意的自然数m，V中都有m个线性无关的元素， 则称V是无穷维线性空间。 ;基变换和坐标变换 ;用矩阵的形式可以把上式表示为