1.2.1任意角的三角函数王雯姣讲义.docx

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1.2.1任意角的三角函数王雯姣讲义

§1.2.1 任意角的三角函数 授课人:王雯姣 教材:人教版普通高中实验教科书数学4必修 第一章 三角函数 第二节 任意角的三角函数 第一课时 任意角的三角函数 一、教材内分析 本节是必修4第一章,第二节,第一课时,教科书首先介绍了用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数的思想,在此基础上,定义任意角的三角函数,并直接用定义研究了三角函数的定义域、函数值的符号、诱导公式一以及同角三角函数的基本关系. 二、学情分析 学生已经学过锐角三角函数,它是用直角三角形中边长的比刻画的,锐角三角函数的引入与解三角形有直接关系,任意的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型. 三、教学目标的确定 知识与技能:借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,并推导出诱导公式一. 过程与方法:通过学生积极参与知识的发现与形成的过程,培养合情猜测的能力,从中感受数学概念的严谨性与科学性. 情感态度与价值观:通过学习,使学生逐步树立数形结合的数学思想,激发学生学习的兴趣. 四、教学重难点 重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义,同角三角函数的基本关系. 难点:用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数;利用与单位圆有关的有向线段,将任意角的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示. 五、教学过程 (一)新课导入 思考:我们已经学过锐角三角函数,知道它们都是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? 设计意图:通过思考提出直角坐标系中角的终边上点的坐标表示锐角三角函数的问题,以引导学生回忆三角函数概念,体会引进象限角概念后,用角的终边上点的坐标表示锐角三角函数的意义,从而为定义任意角三角函数奠定基础. (二)深入探究 如图1.2-1,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,那么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为. 根据初中学过的三角函数定义,我们有 , , . 由相似三角形的知识,对于确定的角,这三个比值不会随点在的终边上的位置的改变而改变,因此,我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上(如图1.2-2).这样就可以得到用直角坐标系内点的坐标表示的锐角三角函数: , ,. 设计意图:在学生对锐角三角函数已有的几何直观认识的基础上,先建立直角三角形的锐角与第一象限角的联系,在直角坐标系中考察锐角三角函数,得出用角终边上点的坐标(比值)表示锐角三角函数的结论,然后再特殊化,引出用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数的结论,在此基础上,再定义任意角的三角函数.这样便于学生学生理解掌握,有助于三角函数的定义的重难点的突破. 如图1.2-3,设是一个任意角,它的终 边与单位圆交于点,那么: (1)叫做的正弦,记作,即 ; (2)叫做的余弦,记作,即 ; (3)叫做的正切,记作,即 . 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数. 设计意图:将锐角三角函数拓展到任意角中, (三)讲解例题 例1 求的正弦、余弦和正切值. 解:在直角坐标系中,作(如图1.2-4).易知的终边与单位圆的交点坐标为.所以, ,,. 设计意图:根据定义求一个角的三角函数值,让学生发现、理解需要先求出这个角的终边与单位圆的交点坐标,再由定义得解,这道题的目的是为了巩固三角函数的定义,并让学生掌握其用法. 例2 已知角的终边经过点,求角的正弦、余弦和正切值. 解:由已知可得: . 如图1.2-5,设角的终边与单位圆交于点,分别过点、作轴的垂线、,则 ,,, ,∽, 于是, ; ; . 设计意图:例2 已知角终边上一点的坐标,求角的三角函数,可以先根据三角形相似将这一问题化归到单位圆上,再由定义得解.通过这道题的求解,可以使学生认识到,只要知道角终边上的任意一点,就可以得出相应的三角函数,于是用角的终边上任意一点的坐标的比值来定义三角函数与利用单位圆上的点的坐标定义三角函数是等价的. 探究:根据上述任意角的三角函数定义,先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填如下表1.2-1,再将这三种函数的值在各象限的符号填入图1.2-66中的括号. 三角函数定义域 表 1.2-1 设计意图:在给出三角函数的定义后,教科书不直接给出它们的定义域和函数值的正负,而是设置探究,留给学生主动学习的空间,引导学生通过自己的思维活动得出结论,在教学过程中,教师引导学生先对函数值的正负进行讨论,然后再探究三个函数在各个象限的符号. ,, ,其中. 由三角函数的定义,可以知道:终边相同的角的同一三角函数的值相等.由此可得一组公式(公式一): 例5 求下列三角函数值: (1); (2);

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