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PAGE  PAGE 24 实变函数综合练习题 《实变函数》综合训练题（一） （含解答） 一、选择题（单选题） 1、下列集合关系成立的是（ A ） （A） （B） （C） （D） 2、若是开集，则（ B ） （A） （B）的内部 （C） （D） 3、设是康托集，则（ C ） （A）是可数集 （B）是开集 （C） （D） 4、设是中的可测集，是上的简单函数，则（ D ） （A）是上的连续函数 （B）是上的单调函数 （C）在上一定不可积 （D）是上的可测函数 5、设是中的可测集，为上的可测函数，若，则（ A ） （A）在上，不一定恒为零 （B）在上， （C）在上， （D）在上， 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设是中的无理点全体，则（C、D） （A）是可数集 （B）是闭集 （C）中的每一点都是聚点 （D） 2、若至少有一个内点，则（ B、D ） （A）可以等于零 （B） （C）可能是可数集 （D）是不可数集 3、设是可测集，则的特征函数是 （A、B、C ） （A）上的简单函数 （B）上的可测函数 （C）上的连续函数 （D）上的连续函数 4、设在可测集上可积，则（ B、D ） （A）和有且仅有一个在上可积 （B）和都在上可积 （C）在上不一定可积 （D）在上一定可积 5、设是的单调函数，则（ A、C、D） （A）是的有界变差函数 （B）是的绝对连续函数 （C）在上几乎处处连续 （D）在上几乎处处可导 三、填空题（将正确的答案填在横线上） 1、设为全集，，为的两个子集，则 。 2、设，如果满足，则是 闭 集。 3、若开区间是直线上开集的一个构成区间，则满足、。 4、设是无限集，则的基数 （其中表示可数基数）。 5、设，为可测集，，则。 6、设是定义在可测集上的实函数，若对任意实数，都有 是 可测集 ，则称是可测集上的可测函数。 7、设是的内点，则。 8、设函数列为可测集上的可测函数列，且，则由黎斯定理可得，存在的子列，使得。 9、设是上的可测函数，则在上的积分不一定存在，且在上 不一定 可积。 10、若是上的绝对连续函数，则一定 是 上的有界变差函数。 四、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”） 1、可列（数）个闭集的并集仍为闭集。 （ × ） 2、任何无限集均含有一个可数子集。 （ √ ） 3、设是可测集，则一定存在型集，使得，且。（ √ ） 4、设是零测集，是上的实函数，则不一定是上的可测函数。（ × ） 5、设是可测集上的非负可测函数，则必在上可积。 （ × ） 五、简答题 1、简述无穷多个开集的交集是否必为开集？ 答：不一定为开集。例如 取上一列开集为， 而是闭集，不是开集。 2、可测集上的可测函数与简单函数有何关系？ 答：①简单函数是可测函数； ②可测函数不一定是简单函数； ③可测函数一定可以表示成一列简单函数的极限。 3、上的有界变差函数与单调函数有何关系？ 答：①单调函数是有界变差函数； ②有界变差函数不一定是单调函数，但一定可以表示成单调函数的和或差。 六、计算题 1、设，其中是有理数集，求。 解： 因为，所以于，于是 2、求。 解： 因为 而 所以，由控制收敛定理 七、证明题 1、证明集合等式： 证明： （方法1）对任意，有且，即或且 所以 或，即。 反之，对任意，有或，即或且，所以且，即， 综上所述，。 （方法2）。 2、设是中的有理点全体，则是可测集且。 证明： 因为是可数集，则 对任意，取开区间，，显然它们把覆盖住。 于是 。让得，，从而是可测集且。 3、证明：上的实值连续函数必为上的可测函数。 证明：因为对于任意实数，由连续函数的局部保号性易知，是开集，从而是可测集。所以必为上的可测函数。 4、设是可测集上的可积函数，为的一列可测子集，，如果，则。 证明：因为且，所以 从而由题设 又在上的可积，且 所以由积分的绝对连续性得 即。 5、设是可测集上的可积函数，为中的一列递增可测子集， 。 证明：记 ，其中 显然在上，，且 于是由勒贝格控制收敛定理即可的结论。 《实变函数》综合训练题（二） （含解答） 一、选择题（单选题） 1、下列集合关系