拉格朗日插值_逐次线性插值法探究.pptVIP

第二章 函数的插值;; 给定空间一组有序的控制点（control point），得到 一条光滑的分段参数多项式曲线的方法: 曲线顺序经过所有的控制点，则称为对这些控制点 进行插值，得到的曲线称为插值曲线。 构造一条在某种意义下最靠近控制点的曲线，这称为对 这些控制点进行逼近，得到的曲线称为逼近(拟合)曲线。 ; 本章先讨论插值问题，然后再讨论数据拟合的有关问题。;问题１：基于未知函数或复杂函数的某些已知信息，如何构造这些函数的近似表达式?;解: 设;;情形２在区间［a,b］上考虑函数f(x)的近似．;　　利用函数f(x)在区间[a, b]上一系列点的值 yi= f(xi)（可通过观察、测量、试验等方法得到）; 根据 f (x)在n+1个已知点的值，求一个足够光滑又比较简单的函数p(x)，作为 f (x)的近似表达式，;从代数上看，看p(x)满足以下代数条件;;最常用的插值函数是 …? ;;问题2－插值多项式的构造;问题１－插值多项式的存在唯一性;　　为求得便于使用的简单插值多项式 p(x)，我们先讨论n=1的情形。 ;y 0 x ;或; y 1 0 x0 x1 x;lk , lk+1称为节点上线性插值基函数.;　　(2.6)式　　　　　　　　　　也称为拉格朗日型插值多项式，其中基函数lk , lk+1与yk , yk+1无关，而由插值节点xk , xk+1决定． 　　 　　因此，一次拉格朗日插值多项式是插值基函数lk , lk+1的线性组合，相应的组合系数是该点的函数值 yk , yk+1．;例2.1 已知 , ,; 先求 插值基函数 l 0(x), l1 (x), l 2(x) ,　它们满足 (1) 都是二次函数； (2) 在节点满足;y 1 0 x;L2( x j ) = y j , j = k-1, k, k+1 .;例2.1* 已知 , ,;;;;; 设 为插值节点，n次多项式 满足条件 由此可得;于是，lk(x)可以写成;;定理2.3 设f(x)在?a, b?有n+1阶导数， x0, x1,…, xn 为 ?a, b?上n+1个互异的节点, Ln(x)为满足 Ln(xi) = f(xi) (i=1,2, …, n) 的n 次插值多项式，那么对于任何x ? ?a, b? , ???(a,b), 有插值余项;注意：;y 0 x;y 0 x;练习 要制作三角函数sin x的值表，已知表值有四位小数，要求用线性插值引起的截断误差不超过表值的舍入误差，试确定其最大允许的步长。;5 插值误差的事后估计法;由上式可见，可以通过两个结果的偏差;为克服这一缺点，通常可用逐次线性插值方法求得高次插;;现在令 表示函数 关于节点 的 n-1次插值多项式， 是零次多项式, , i1,…,in均为非负整数。 一般地，可通过利用两个 k次插值多次式的线性插值得到（k+1）次插值多项式：;从而证明了插值多项式(**)满足插值条件。我们称(**)为Aitken（埃特金）逐次线性插值多项式.;当k=0时为线性插值。 k=1时插值节点为 三点，公式为 计算时可由k=0到k=n-1逐次求得所需的插值多项式。计算过程如下;; 从表上看每增加一个节点就计算一行，斜线上是1次到4次插值多项式的