逆矩阵计算初等变换法.docVIP

逆矩阵的计算——初等变换法 1．用初等变换法求逆矩阵 如果A ? eq \b\bc\[(\a\al\vs2(1 2 ,3 4 ))，那么A的逆矩阵A?1应当使 A?1eq \b\bc\[(\a\al\vs2(1 2 ,3 4 )) ? eq \b\bc\[(\a\al\vs2(1 0 ,0 1 ))． 用一系列的矩阵逐渐把矩阵A变成单位矩阵，就可以求A?1． 取E1 ? eq \b\bc\[(\a\al\vs2(1 0 ,?3 1 ))，那么 E1A ? eq \b\bc\[(\a\al\vs2(1 0 ,?3 1 )) eq \b\bc\[(\a\al\vs2(1 2 ,3 4 )) ? eq \b\bc\[(\a\al\vs2(1 2 ,0 ?2 ))， 所得矩阵的左下角元素为0． 取E2 ? eq \b\bc\[(\a\al\vs2(1 1 ,0 1 ))，那么 E2(E1A) ? eq \b\bc\[(\a\al\vs2(1 1 ,0 1 )) eq \b\bc\[(\a\al\vs2(1 2 ,0 ?2 )) ? eq \b\bc\[(\a\al\vs2(1 0 ,0 ?2 ))， 所得矩阵的右上角元素为0． 取E3 ? eq \b\bc\[(\a\al\vs2(1 0 ,0 ? \s\do(\f(1,2)) ))，那么 E3(E2E1A) ? eq \b\bc\[(\a\al\vs2(1 0 ,0 ? \s\do(\f(1,2)) )) eq \b\bc\[(\a\al\vs2(1 0 ,0 ?2 )) ? eq \b\bc\[(\a\al\vs2(1 0 ,0 1 ))． 因此，E3E2E1A ? E，而A?1A ? E，所以 A?1 ? E3E2E1 ? eq \b\bc\[(\a\al\vs2(1 0 ,0 ? \s\do(\f(1,2)) )) eq \b\bc\[(\a\al\vs2(1 1 ,0 1 )) eq \b\bc\[(\a\al\vs2(1 0 ,?3 1 )) ? eq \b\bc\[(\a\al\vs2(1 1 ,0 ? \s\do(\f(1,2)) )) eq \b\bc\[(\a\al\vs2(1 0 ,?3 1 )) ? eq \b\bc\[(\a\al\vs2(?2 1 ,? \s\do(\f(3,2)) ? \s\do(\f(1,2)) ))． 2．解释 矩阵A ? eq \b\bc\[(\a\al\vs2(1 2 ,3 4 ))将单位正方形OABC变为四边形OABC（图1），则A?1应该把OABC变回到OABC． O A B C eq \b\bc\[(\a\al\vs2(1 2 ,3 4 ))eq \b\bc\[(\a\al\vs2(0 1 1 0 ,0 0 1 1 )) O A B C →eq \b\bc\[(\a\al\vs2(0 1 3 2 ,0 3 7 4 ))． O A B C C B A 图1 下面我们将看到，用初等变换（反射、伸压、切变）怎样将OABC逐步变回到OABC． E1 ? eq \b\bc\[(\a\al\vs2(1 0 ,?3 1 ))，它把OABC变为OXYZ（图2）． O A B C eq \b\bc\[(\a\al\vs2(1 0 ,?3 1 ))eq \b\bc\[(\a\al\vs2(0 1 3 2 ,0 3 7 4 )) O X Y Z →eq \b\bc\[(\a\al\vs2(0 1 3 2 ,0 0 ?2 ?2 ))． O Z Y X C B A 图2 E1是切变矩阵，它把OABC往Ox轴上作切变，使OX与OA重合． E2 ? eq \b\bc\[(\a\al\vs2(1 1 ,0 1 ))，它把OXYZ变为OAPQ（图3）． O Z Y A(X) P Q O X Y Z eq \b\bc\[(\a\al\vs2(1 1 ,0 1 ))eq \b\bc\[(\a\al\vs2(0 1 3 2 ,0 0 ?2 ?2 )) O A P Q →eq \b\bc\[(\a\al\v