线性代数第六节二次型.docVIP

PAGE  第二章  PAGE 17 PAGE  第五章  PAGE 1 二次型与对称矩阵 二次型及其矩阵 定义：含有个变量的二次齐次函数： 　 称为二次型。 　　　　为便于用矩阵讨论二次型，令，则二次型为： 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 令，　　， 则　，且为对称矩阵。 　　　　由于对称矩阵与二次型是一一对应关系，故称对称矩阵为二次型的矩阵，也称二次型为对称矩阵的二次型，也称为二次型的秩。 例1 设 试求二次型矩阵. 解 , , , , , . 于是得 ， 例2 已知三阶矩阵和向量,其中 , . 求二次型的矩阵. 解 由于不是对称矩阵,故不是二次型的矩阵.因为 , 故此二次型的矩阵为 . 二、线性变换 1 　标准形 　　定义：形如的二次型称为二次型的标准形。 显然：其矩阵为对角阵。 线性变换 定义： 关系式称为由变量到变量的一个线性变量替换，简称线性变换。 矩阵称为线性变换的矩阵。 记 ，，则线性变换可用矩阵形式表示为： 若，称线性变换为满秩（线性）变换（或非退化变换），否则，称为降秩（线性）变换（或退化变换）。 ，其中， 而 若线性变换是非退化的，便有： 三、矩阵的合同 1定义：设，为阶方阵，如果存在阶可逆矩阵，使得，则称矩阵与合同。 容易知道：二次型的矩阵与经过非退化线性变换得到的矩阵是合同的。 2 合同的性质 反身性：任一方阵都与它自己合同 ② 对称性：如果方阵与合同，那么也与合同 ③ 传递性：如果方阵与合同，与合同，那么与合同 3 定理：若矩阵与合同，则与等价，且。 4 定理：任何一个实对称矩阵都合同于一个对角阵（是以的个特征根为对角元的对角阵）。即存在可逆矩阵，使得。 化二次型为标准形 一、正交变换法 定理：任给二次型，总有正交变换使化为标准形：（其中是对称矩阵的特征根） 　　例：　求一个正??变换，化二次型为标准形。 　　解：二次型的矩阵为： 　　　　由，求得的特征根为：，， 　　　　特征根对应的特征向量为：； 　　　　特征根对应的特征向量为： 　　　　显然与都正交，但不正交。 　　 正交化：取， 　再将单位化，得　 　　于是正交线性变换为：　 　　使原二次型化为：　 　　注意：二次型的标准形并不唯一，这与施行的正交线性变换有关。 二、配方法 对任意一个二次型，也可用配方法找到满秩变换，化二次型为标准形。 　1　二次型中含有平方项 　例：化二次型为标准形，并求出所用的变换矩阵。 解　 　　　 　　　 　　　令　，即 令，则，所求的满秩变换为，即， 则原二次型化为标准形：　 2　二次型中不含平方项 　例：用配方法化二次型为标准形，并求出所用的满秩线性变换。 　解：令，则原二次型化为： 　　　　再按前例的方法有： 　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　令，　则原二次型化为： 　　　　其中的满秩变换为两变换的合成，即： 　　　由第一次变换得：　　 　　　由第二次变换得：　 　　　所以有合成的满秩变换为： 　　　　　 　　　即　　　　　 三、初等变换法 由于任一二次型都可以找到满秩线性变换将其化为标准形，即存在可逆矩阵，使为对角阵；由于可逆，可以写成一系列初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵，使。则，所以 ① ② 表示对实对称矩阵施行初等列变换，同时也施行同种的初等行变换，将化为对角阵，②表示单位矩阵在相同的初等列变换下就化为 例：用初等变换法化二次型为标准形，并求出相应的满秩线性变换。 解：二次型的矩阵： ， 所以， 原二次型化为 惯性定理和二次型的正定性 一、惯性定理和规范形 在二次型的标准形中，将带正号的项与带负号的项相对集中，使标准形为如下形式： 再令线性变换：，则原二次型化为： 定义：形如上式的标准形称为二次型的规范形。 定义：称规范形中正项的个数称为二次型的正惯性指标，负项个数 称为二次型的负惯性指标