试题研究·一道高考试题的解法研究与解题感悟.doc

S8·中数高中发稿·杜安利 PAGE  PAGE - 6 - 形式新颖 内涵丰富 ——一道高考试题的解法研究与解题感悟 张 琥（江苏省泗阳中学数学教育实验室） 2009年高考数学安徽卷理科第14题如下： 给定两个长度为1的平面向量，它们的夹角为120，如图1所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动，若，其中x、y∈R，则x+y的最大值是 ． 一、解法研究 本题是以圆为载体、向量为背景的最值问题，由于平面向量是融数形于一体，是代数、平面几何、三角函数、解析几何等知识的交会点，因而解决此类问题主要是根据向量的数和形的双重特征，并以此为切入点寻求已知与未知之间的内在联系，探究解题的思路和方法． 题中选用向量、为基底，把平面内的任一向量表示成，其中x、y∈R，运用化归思想，将向量形式转化为代数中的数量关系，建立关于x+y??函数关系式，从函数的角度来解决问题． 解法1由题意知。 由，得 。 因为， 所以． 下面给出求x+y最大值的几种思路。 思路1：基本不等式法。 因为 ， 所以，即， 故， 当且仅当x=y=1时取等号， 所以x+y的最大值为2． 思路2：代数换元法。 令x=a+b,y=a-b, 代入1=x2+y2+xy,得 化简得， 故． 当且仅当a=1,b=0,即x=y=1时，x+y取最大值为2． 思路3:三角换元法. 令得 ， 所以． 思路4:判别式法. 令，则， 代入，整理得 ， ， 解得， 故x+y取得最大值2， 此时x=y=1,． 【点评】明确目标，合理转化．将等式两边同时平方，运用向量的数量积和模将原问题转化为的代数问题，使问题解决起来方便、简捷． 解法2：以OA所在直线为x轴，O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系， 则。 设。 由已知得，即 因为点C在单位圆上，所以。 由柯西不等式知， 即4·1，从而． 当且仅当时取等号， 故x+y的最大值为2． 解法3：同解法2，也可设。 由，得 即， 解得， 易得， 因为， 所以， 故当且仅当时，x+y取最大值2． 【点评】解法2和解法3都是通过建立适当的平面直角坐标系，将向量坐标化．解法2由柯西不等式达到求最值的目的，而解法3是将求x+y的最值的问题转化为三角函数的最值问题． 解法4：设。如图3，过点C作CD∥OB交OA于点D， 则。 在ODC中，由正弦定理得， 所以． 下同解法3。 解法5：如图4所示，过点C作CE//OA，交直线OB于点E， 作CF//OB，交直线OA于点F，易知。 因为，且， 所以． 在中，设， 则． 根据正弦定理有， 所以， 当，即时，x+y取最大值，其值为2． 【点评】联想到向量加法的平行四边形法则，通过作图、运用正弦定理来解三角形，充分体现了向量的几何特征． 解法6：设 则, 在等式两边分别同时乘以向量，得 即 ． 下同解法3。 解法7：由，得 从而 ， 由于,如图5所示，取中点, 则， 故 ， 当且仅当重合时取等号，即x+y的最大值为2． 【点评】由于三个向量的模都是1，且两向量的夹角已知，故对等式的两边分别乘以向量，从而得出x+y的表达式，体现了向量的代数特征．解法6是将原代数最值问题转化为三角函数的最值问题来求解，而解法7是用向量加法的平行四边形法则将x+y表示为两向量的夹角的余弦值． 解法8：如图6所示，连接AB交OC于点D。设． 因为A、B、D三点共线，所以． 因为，所以． 所以． 又因为，所以。 要使x+y最大，必有线段OD最短，即。 易知此时，则， 故x+y取得最大值2． 【点评】将三点共线转化为向量共线，运用向量共线的充要条件和平面向量基本定理，巧妙地将表示为。因为=1，所以x+y最大值的几何意义是点O到直线AB的距离最小． 解法9：以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立如图7所示的斜坐标系，则点C(x，y)在以O为圆心的圆弧上变动，就可以看作点C满足的约束条件，而所求x+y最大值的几何意义就是在斜坐标系xOy下直线z=x+y在y轴上的截距的最大值．易知，当直线z=x+y与A、B两点所在直线平行且和圆弧相切时，直线z=x+y在y轴上的截距最大，不难求出其最大值是2． 【点评】通过建立斜坐标系，将原问题转化为线性规划问题，解法新，方法活，充分地体现了平面向量的代数和几何的双重特征． 二、解题感悟 一道好的试题之所以能引起大家的共鸣，不是因为其独特的解题技巧，而是其中所蕴含着的数学思想．本题素材平朴、形态鲜活，但采撷求解过程却是精彩纷呈，妙趣横生，真可谓是一道平中孕奇的好题，为历年高考试题所少见．在试题的设计上，采用“以能力立意”的命题思想，着力考查考生的逻辑思维能力、数学素养和数学潜