解直角三角形知识点.docVIP

A C B D 直角三角形的性质： 1、两个锐角互余 ∵∠C=90°∴∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∵∠C=90°∠A=30°∴ BC=AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∵∠ACB=90° D为AB的中点 ∴ CD=AB=BD=AD 4、勾股定理： ：还可以变形为，． 5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项 ∵∠ACB=90°CD⊥AB ∴ 6、常用关系式 由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC 二、锐角三角函数 1、锐角三角函数定义：在中，∠C=90°，、、分别是∠A、∠B、∠C的对边，则： 常用变形：；等，由同学们自行归纳 2、锐角三角函数的有关性质： （1）当0°∠A90°时，；；； （2）在0°90°之间，正弦、正切（、）的值，随角度的增大而增大；余弦、余切（、）的值，随角度的增大而减小。 3、同角三角函数的关系： 常用变形： （用定义证明，易得，同学自行完成） 4、正弦与余弦，正切与余切的转换关系： 如图1，由定义可得： 同理可得： 5、特殊角的三角函数值： 三角函数0°30°45°60°90°--二、有关三角函数计算（计算器、特殊角） 三、解直角三角形 已知的一些边、角 求 另一些边、角 1、解直角三角形的基本类型及其解法总结： 类型已知条件解法两边两直角边、，，直角边 ，斜边，，一边 一锐角直角边，锐角A，，斜边，锐角A，， 例1：①在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,a,b,c是△ABC的三边,a=6,∠B=30°求∠A,b,c. ②在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,a,b,c是∠A,∠B,∠C的对边,a=5,b=,求c,∠A,∠B. 例2:①在RtΔABC中,∠C=Rt∠,a,b,c是三边,且,a=6.求c. ②在RtΔABC中,∠C=Rt∠,∠B=30°,a-b=2.求c. ③在RtΔABC中,∠B=45°,∠C=60°,BC=.求SΔABC及ΔABC的周长. ④在RtΔABC中,∠C=Rt∠,,∠A的平分线AD的长是解直角三角形. ⑤在RtΔABC中,∠C=90°,,.D是AC上一点∠DBC=30°.求BC,AD. 2、解直角三角形的实际运用 (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 (2)坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般写成的形式，如等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。 (3)从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。 (4)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。 补充：在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。 有关公式 （1）== （2）Rt△面积公式： （3）结论：直角三角形斜边上的高 （4）测底部不可到达物体的高度．如右图， a 在Rt△ABP中， BP=xcotα 在Rt△AQB中， BQ=xcotβ BQ—BP=a， 即xcotβ-xcotα=a． 解直角三角形的知识的应用，可以解决： (1)测量物体高度． (2)有关航行问题． (3)计算坝体或边路的坡度等问题 3、三角形的面积公式： 已知中，???A、∠B、∠C的对应边分别是、、，如图2，过点A作AD⊥BC于点D。在中，，即：（） （其中：∠B为、的夹角） 同理可得：（三角形的面积公式） 由面积公式可得： 两边同时除于 得： 同理可得，正弦公式： 余弦定理 如图2：， ，在直角三角形ABD中，由勾股定理得： 整理得： 整理得到余弦定理：（∠C为、的夹角） 同理可得：（余弦定理及其变形） 四、三角函数与相似： 如图5，可以利用相似进行求解，也可以利用三角函数进行求解： 如图6， 备注：三角函数，在解决直角三角形的一些问题中，有时候会比相似书写更简洁一些 五、三角函数与一