实对称半正定矩阵的1个充分条件的新证明.docVIP

实对称半正定矩阵的一个充分条件的新证明 07级数学教育一班 周端华 摘要：线性代数里有这样一个重要定理：“实n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充要条件是：A的一切主子式0。”该定理的条件的必要性容易证明，但对条件的充分性，很多有关的教科书或参考资料都作了几乎雷同的证明，本文提供一种新的证明方法，比已有的证明方法，思路自然，易于接受，便于理解。这对代数教学，无疑是有参考价值的，对拓广读者的思路会有帮助的 关键词：实n阶对称矩阵，正定矩阵，半正定矩阵，主子式，数学归纳法。 引言：大多数课本的证明中都要用到这样一个命题：“若K阶实对称矩阵的一切主子式0，则对任何正数，k阶矩阵是正定矩阵。”(是k阶单位矩阵。)要用到较多的预备知识．技巧性虽强，但思路欠自然 。尤其对初学线性代数的读者来说，很难捉摸其证法是如何想出来的。下面就让我们走进新的证明方法。 证明：对该定理的条件充分性用数学归纳法证明。当实对称矩阵A是l阶时，显然命题成立。假定实对称矩阵A是n阶时，命题成立，视A为n+1阶的情形： 设 如果，则必有,i=2,3…,n+1,因为若有某个,(2≤u≤n+1),则A 的一个2阶主子式 ， 与条件矛盾。所以，。即 其中是阶实对称矩阵，它的一切主子式都是A的主子式，因此A 的一切主子式≥0。据归纳假设，知是半正定矩阵。这时，显然A是半正定矩阵。 如果，即，即，(由条件知) 其中，B是实n阶对称矩阵，于是 记是实n阶对称矩阵。即 （1）我们证明C的一切主子式，设C的任意一个k阶（）主子式为,设 其中是中某k个数组成的。 对C作适当的一系列的行交换，与相同的一系列的列交换，总可使置于左上角。即 有n阶交换矩阵(对作一系列的列(或行)交换而得的矩阵)Q，使 即有 （2） 其中是阶实对称矩阵。 记 则由（2）得 （3） 令是阶实对称矩阵。 由以上引入Q(交换矩阵)的意义知．H是对A的后面n行n列进行相同的一系列的行的交换与列的交换的结果。可知H与A的主子式一、一对应相等(所不同的，只不过是某些行、列相对交换位置，但不影响主子式的值。)故H的一切主子式 （3）即 （4） 由（4）得， （5） 将H分快成其中是H的顺序(k+1)阶主子阵，N是阶对称矩阵，M是矩阵。由（5）可得： （6） 在（6）的两边去行列式的： 而，所以。 即证明了C的一切主子式，据归纳假设知C是半正定矩阵。 显然是半正定矩阵。 由(1)知A与T合同，故A是半正定矩阵，由1。与2。知A是(n+1)阶时，命题成立。归纳证毕。从而条件的充分性得证。 参考文献 [1] 张远达编，线性代数原理，上海教育出版社，1980年6月第1版 [2] 屠伯埙、徐诚洁、王棼编著．高等代数。上海科技出版社。1987年3月第1版。