基于4元数奇异值分解的图像质量评价方法.docVIP

基于四元数奇异值分解的图像质量评价方法 摘 要： 关键词：四元数 奇异值分解 图像质量评价 图像质量评价是图像处理的重要研究内容之一，作为算法性能评判及参数优化的重要指标，图像质量评价对于图像采集、压缩、编码、去噪、增强、水印、认证、存储、合成、复制等相关领域具有重要意义一。图像质量评价用来表征畸变图像相对于作为标准图像的原始图像的差异程度，其中的畸变图像主要指对原始图像进行如下变换：噪声（高斯、椒盐）、模糊（失焦、大气湍流、运动模糊）、有损压缩（JPEG、JPEG2000、SVD、小波）等。图像质量评价主要有主观和客观两种方式。考虑到传统的主观质量评价不仅对实验条件要求有着苛刻的要求，而且实施步骤复杂，不能满足实时性的要求，客观质量评价吸引了更多关注。 根据参考图像的存在与否，客观图像质量评价方法又可分为全参考、半参考和无参考三种算法??其中，对于全参考算法的研究最为深入，并将其分为： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①基于物理信号差异的方法，包括常见的均方误差（MSE)，信噪比（SNR）和峰值信噪比（PSNR）等指标； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②基于人言视觉系统（HVS）建模的方法。例如，视觉信噪比（VSNR）利用HVS的临界阈值和超阈值视觉感知特点改进SNR，以便更好的吻合人眼视觉感知结果； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③基于结构相似性的方法。假设结构信息丢失是造成图像质量下降的唯一原因，此类方法包括了结构相似度（SSIM)和它的多分辨版本（MSSSIM); = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④基于自然场景统计（NSS)的方法，包括信息置信度标准（IFC）和视觉信息置信度（VIF）。 四元数基础 1.1 四元数及四元数矩阵的定义 1983年，英国数学家哈密顿（Hamilton W R)创造了四元数[1],一个四元数q是四维空间中的一个数，它包含一个实部a和三个虚部b、c、d，其基本形式为： （1） 其中，a、b、c、d是四个实数，基元i、j、k满足 （2） （3） 四元数的全体记为，若矩阵，则称为阶四元数矩阵，阶四元数全体记为。 1.2 四元数矩阵的特征值和特征向量 设为四元数矩阵，如果存在四元数及非零的四元数向量，使，称为的左特征值，为的属于左特征值的特征向量。同理，可以定义有特征值和特征向量的关系时：。 1.3 四元数的等价复矩阵 设是的四元数矩阵，记作，如果，其中和是两个复矩阵，那么的等价复矩阵定义为。 1.4 四元数的等价实矩阵 设，若，那么的等价实矩阵定义为 奇异值分解和四元数矩阵的奇异值分解 2.1 奇异值分解[2] 奇异值分解是一种有效的代数特征提取方法。任意实数或复数矩阵可以分解成三个矩阵的乘积,其中、为正交矩阵，即，;为对角矩阵，即，，，被称为的奇异值，的列向量称为的左奇异向量，的列向量称为的右奇异向量，这就是奇异值分解（），也可以写成： (4) 从线性代数的角度来看，一幅数字灰度图像可以看成是由对应位置像素的灰度值作为元素组成的实数矩阵，即图像矩阵，那么灰度图像（公式4）也可以被认为是个秩为的特征图以各自奇异值为权相加的总和。 2.2 四元数矩阵奇异值分解的存在性性定理[3] 若是秩为的的四元数矩阵，则必存在两个四元数酉矩阵和，使得，其中，，均为正实数，即为的奇异值，，符号是共轭转置。 即对任意的的四元数矩阵可进行如下的奇异值分解： 当然（单位矩阵）。 文献[4]给出了四元数奇异值分解存在性的证明 2.3 四元数奇异值分解的意义[5] 假设有，那么 , 。 所以，四元数矩阵奇异值分解的意义是： 是和的实特征值对角阵。 和的列向量分别是和的特征向量。 2.4 四元数矩阵奇异值分解的算法 第一步：给定四元数矩阵,求出的复表示矩阵； 第二步：求出复矩阵的特征值和相应于的标准正交特征向量，记); 第三步：计算并扩充形成的标准正交基，记 第四步：利用复表示的逆变换，求出。 彩色图像的单个像素都是由三种基本颜色按一定比例组合而成的，包含R、G、B三分量的彩色图像的任一点处的像素都可用一个纯四元数（实部为）来表示，如式（5）： （5） 式中，及表示图像中点处的红、绿、蓝三基色值，是虚数单位。因此，一幅的彩色图像就可以表示