同济五版线配套相似矩阵和对角化3.docVIP

PAGE  PAGE 6 课 题§5.4对称矩阵的对角化教学内容实对称阵的对角化教学目标了解对称矩阵的特征值与特征向量的性质； 会求正交相似变换矩阵将对称矩阵化为对角矩阵教学重点实对称阵对角化的具体步骤教学难点实对称阵对角化的方法双语教学内容、安排相似矩阵：Similar matrix；对称矩阵：Symmetrical matrix教学手段、措施教学过程及教学设计 备注§5.4对称矩阵的对角化 一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 定理1 实对称矩阵的特征值为实数. x 为 对应的特征向量. 即 于是有 两式相减，因为 x≠0, 定理2 p1, p2 依次是它们对应的特征向量. 则 p1 与 p2 正交. 证 由已知有 左乘（2）式的两端得 因为 A 是实对称矩阵，所以 于是 即 p1与 p2 正交. 例1 设实对称矩阵的特征值, 属于的 特征向量依次为, , 求． 解 设, 由 , 可得 该齐次方程组的一个非零解为 ． 令 , 则有 二、实对称矩阵的相似对角化 定理 3 设 A 为 n 阶对称矩阵，则必有正交矩阵 P ,使，是以 A 的 n 个特征值为对角元素的对角矩阵. 它们的重数依次为 r1 , r2 ,…… , rm , 于是, r1 + r2 + …… + rm= n . 根据定理 5及定理 7 知，恰有 ri 个线性无关的实特征向量, 把它们正交单位化，即得 ri 个单位正交的特征向量, i =1,2，… , m .由 r1 + r2 +…… + rm= n . 知这样的特征向量恰有 n 个. 又实对称矩阵不等的特征值对应的特征向量正交( 根据定理6 )，故这 n 个特征向量构成规范正交向量组. 以它们为列构成矩阵 P , 则为 P 正交矩阵，并有 恰 是 A的n 个特征值. 推论 设A 为n 阶对称矩阵, r 重根, 恰有 r个线性无关的特征向量. 为对角矩阵． 于是得正交矩阵 P = ( p1, p2, p3 ) 且使得 为对角矩阵． 解 A 的特征多项式为 将其规范正交化. 正交化： 取 再单位化得 于是得正交矩阵 P = ( p1 , p2 , p3 ) 且使得 用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤： 三．复习思考 1． 已知相似于, 求和． 答案 故 ． 2．设的一个特征向量为, ???的全体 特征值与特征向量． 答案 ：, , 对应只有1个线性无关的特征向量 全体特征向量为  [注]解向量可取为实向量. 约定：实对称矩阵的特征向量为实向量． 解题关键： 定理2的应用 总结解题步骤