OlympicMathematics001[定稿版].docVIP

奥林匹克数学（初中）第01期 Olympic Mathematics No. 01 Olympic Mathematics 2009.9.5 Wuhan No.001 本期目录 1．数学竞赛专题讲座 第一讲 新定义运算 2．各地竞赛试题选 2008年江苏中学应用与创新邀请赛复赛试卷 2003年第一届创新杯数学邀请赛初中一年级试题 3. 数学竞赛中的名题 菲波那契恒等式 4．有奖问题征答 初中数学竞赛讲义 第一讲 新定义运算 【奥赛赛点】 定义新的运算，是在普通的加，减，乘，除，乘方，开方的基础上重新规定一种运算，通常还给出新的运算符号。求一个实数的整数部分，是一种常见的新定义的运算。 除了定义新的运算外，在数学竞赛题中，还经常出现定义新的概念（例如新的数，新的函数的问题。 【解题思路与技巧】 在解答关于新定义运算有关问题时，要充分理解这个运算，特别要注意它和常规???算的异同，不要不经过分析论证就将常规运算的运算律运用到新定义的运算中去。 在解答与实数x的整数部分[x]有关的问题时，要注意运用实数的小数部分小于1，而且不小于0即0≤x1这一性质。 【典型示例】 例1（1996年安徽安庆市初中数学竞赛试题） 定义新运算“ eq \o\ac(○,+)”, 对任意实数a, b有a eq \o\ac(○,+)b＝,求解方程4 eq \o\ac(○,+)|x|＝5. [解] 由4 eq \o\ac(○,+)|x|＝5, 推出, 则 |x|＝2, x＝±2. 例2（2002年江苏省初中数学竞赛试题） 用min（a, b）表示a、b两数中的较小者, 用max（a, b）表示a、b两数中的较大者, 例如min (3, 5)＝3, max (3, 5)＝5, min (3, 3)＝3, max＝(5, 5)＝5. 设a、b、c、d是互不相等的自然数, min (a, b)＝p, min (c, d) ＝q, max (p, q)＝x, max (a, b)＝m, max (c, d)＝n, min (m, n)＝y, 则 (A) x＞y (B) x＜y (C) x＝y (D) x＞y和x＜y都有可能 [解] 取a＝1, b＝2, c＝3, d＝4, 则min (1, 2)＝1, min (3, 4)＝3, max (1, 3)＝3; max (1, 2)＝2, max (3, 4)＝4, min (2, 4)＝2. ∴x＝3, y＝2, x＞y. 取a＝1, b＝3, c＝3, d＝4, 则min (1, 3)＝1, min (2, 4)＝2, max (1, 2)＝2; max (1, 3)＝3, max (2, 4)＝4, min (3, 4)＝3. ∴x＝2, y＝3, x＜y 取a＝b＝c＝d。 显然有x=y. 故应选D. 例3（1994年安徽省初中数学竞赛） 对任意实数x, y, 定义运算如下：x*y＝ax＋by＋cxy, 这里a, b, c是给定的数, 等式右边是通常的加法及乘法运算（例：当a＝1, b＝2, c＝3时, 1*3＝1×1＋2×3＋3×1×3＝16）. 现已知所定义的运算满足条件：1*2＝3, 2*3＝4, 并且有一个不为零的数d使得对任意实数x都有x*d＝x. 试求a, b, c, d的值. [解] 由题设x*d＝ax＋bd＋cdx, 对一切实数x, 有ax＋bd＋cdx＝x, 即 (a＋cd－1)x＋bd＝0. 从而有 因 d≠0 ，故b=0 于是 x·y＝ax＋cxy, 又由 1·2＝3, 2·3＝4, 得 解得 a＝5, c＝－1. 再由 a＋cd－1＝0, 解得 d＝4. 故 a＝5, b＝0, c＝－1, d＝4. 例4(2004年河北省初中数学创新与知识竞赛预赛试题) 已知 ,求下式的值: ++……++f(1)+f(0)+f(1)+f(2)+ ……+f(2004) [解] ,,于是,又 f(0)=0, 故原式= f(2004)++ f(2003) ++…+)+f(2)+f(1)+ f(1)+f(0)=2004 例5（1985年吉林省初中数学竞赛试题） 用※规定为在有序实数对上的运算，如下所示： (a,b) ※(c,d)=(ac+bd,ad+bc) 如果(a,b) ※(x,y)= (a,b),求(x,y)。 [解] 因 (a,b) ※(x,y)= (ax+by,ay+bx)= (a