第38届俄罗斯数学奥林匹克.pdfVIP

??? 中 等 数 学? 第 ??届俄罗斯数学奥林 匹克 ?九年级 ?? 中图分类号 ：????．??? 文献标识码 ：?? 文章编号 ：????— ????????????— ????— ??? 第 ??届俄 罗斯数 学奥 林 匹克于 ????年 ?月 ??日至 ??日在俄 罗斯 西部 的斯摩 棱 斯 克 市? 举行。竞赛分九、十和十一年级进行 ，在 ?????和 ??日分两天考试，每天 ?个小时考 ?道题。? 由上海市 ?名 中学生组成的中国代表队参加 了此次竞赛 ，其 中，?名学生参加 了十年级的? 竞赛，?名学生参加 了九年级的竞赛。?名学生获一等奖，?名学生获二等奖。? ?．设 ??，??，? ，?／?】?是 不小 于 ?的互异 正? ???一??】????一??????】一???，? 整数 ，满足 ?。???：?? ??。。????．问 ：是 否? 、? 、，?分别 是△ ????。、△ ????。、△ ???，?? 存在正整数 ??，使得当? 分别除以 口。，口：，? ，? 的内心．证 明：△?，曰，?的外心与△ ???的? 口? ???，???，? ，?口?这 ??个数时所得到 的? 内心重合．? 余数的和等于 ??????? ?．开始时 ，黑板上写着 ??个连续 正整? ?．已知在正 ?????边形 的顶点中存在 ?? 数．对黑板上的数进行如下操作 ：任取黑板上? 个顶点，使得以这 ?个 顶点为顶点的凸 ?多? 的两个数 Ⅱ、?，将它们 用数 ?／?一???????、??? 边形的任意两条边不平行．求 ?的最大值．? 替换．经过若干次上述操作后 ，黑板上开始时? ?．设 四边 形 ???? 是 一 个平 行 四边 形 ，? 的 ??个数 已全 部 被 替 换 掉．问 ：此 时 在 黑 板? ?为 钝 角 ，? 是 点 ? 在 ??的 垂 直 投 影 ，? 上是 否可 能还是 ??个 连续 的正整数 吗 ?? △ ???过顶点 ?的中线的延长线交其外接? ?．城市里有若干条公共汽车线．已知任? 圆于点? 证明：?、?、?、?四点共圆．? 两条公共汽车线恰有一个公共 的车站 ，任一? ?．正实数 ??，??，? ，???，?满足? 条公共 汽 车线至少 有 ?站 ．证 明 ：可 以将所 有? 口?????? ???????，? ①? 的车站分成不交 的两组 ，使得任意一条公共? ????；?? ????????，? ②? 汽车线含每组中至少一站．? ????；?? ??：??????．? ③? 参 考 答 案? 证明 ：在 ???，?：，? ，口?中存在两个数，使? 得它们的差的绝对值大于 ?．? ?．不存 在．? ?．???个智者 围坐一 圈开