不等式的解法及二次函数次不等式二次方程不等式的解法及二次函数二次不等式二次方程.docVIP

不等式的解法及二次函数二次不等式二次方程 一．不等式的解 知识小结 一元二次不等式：只含有一个未知数。并且未知数的最高次数是二次的不等式叫一元二次不等式。 要求学生举5个例子。 闭区间：集合叫做闭区间，记为[a,b]。注意：隐含条件ab。 开区间：集合叫做开区间，记为（a,b）。注意：隐含条件ab。 半开半闭区间：集合或叫做半开半闭区间，记为[a,b]或（a,b）。注意：隐含条件ab。 区间的端点：在上述所有区间中，a,b叫做端点。 实数集R及用区间表示：， ，读作正无穷大，读作负无穷大。它们是一个理想的数，不是一个具体的数，比你想的大还要大，比你想的小还要小。 7、、或的解法： 例1 例1（一元二次不等式与一元二次方程的关系）求不等式2x2-3x-20的解集。 解： 因为不等式2x2-3x-20相应的一元二次方程的根的判别式ΔO，方程2x2-3x-2＝0的两个根是 所以不等式的解集为。 小结：解不等式步骤：10检验二次项系数是否为正；20判断一元二次方程的判别式是否0,0,=0；30解出一元二次方程的根；40写出一元二次不等式的解集（用集合或区间表示）。 8、、或的解法： 前面，我们只考虑一元二次不等式的二次项系数a0的情况，当aO时，可在不等式的两边同乘以一l，使二次项系数为正，就可同样求解． 例2 求不等式-3x2+x+10的解集． 解 将原不等式化为3x2-x-10， 因为方程3x2-x-1＝0的两根是, 所以原不等式的解集为 例3 写出一个一元二次不等式，使它的解集（-1，3）。 解：由不等式的解集为(一l，3)，可知x应满足条件：-1x3, 于是有(x+1)(x-3)0，即x2-2x-30是一个解集为(一1，3)的一元二次不等式． 前面提到的刹车问题，只要求出一元二次不等式 0．00526x2+0.000078x45．5的解即可．利用上面介绍的一元二次不等式的解法，可得不等式的解为x93．00或工一93．01． 根据题意，可推断这辆汽车在发生交通事故时的车速大于93千米／时．这条信息将成为车祸责任认定的重要依据。 ９．当时，不等式或，也可以用二次函数图象来求解。 10．当时，不等式或，可以变为的情???。 例4（用二次函数的图象来解）解下列不等式 9x2+6x+10; 4x-x25; 2x2+x+1≤.0 解：略（４）：原不等式可以化为令则次函数为抛物线，它的开口向上，，原不等式无解。 例5．当k为何值时，关于x的一元二次不等式x2+(k-1)x+40的解集为(一∞,+∞)? 解 函数y= x2+(k-1)x+4的图像是开口向上的抛物线． 因为不等式x2+(k-1)x+40的解集为(一∞,+∞)，所以整条抛物线在x轴上方，此时方程x2+(k-1)x+4=0的根的判别式Δ＝(k一1)2一160． 解得k∈(一3，5)． 所以，当一3k5时，不等式x2+(k-1)x+40的解集为(一∞,+∞)。 3．一元二次不等式组的解法 例6.解不等式组。 解：由不等式（1）得，不等式（2）得，可知原不等式组解集为 4．含参数的一元二次不等式 例7．解关于的不等式。 解：Δ=a2+12a=a(a+12). 当Δ0时，即a-12或a0时，原不等式的解为或。 当Δ=0时，即a=-12或a=0. 当a=0时，原不等式的解为x∈(-∞,0)∪(0,+∞)。 当a=-12时，原不等式的解为x∈(-∞,-2)∪(2,+∞) （3）当Δ0时，即-12a0时，原不等式的解为x∈R. 例8．解关于的不等式。 解：（1）当m=0时，原不等式的解为x∈(-∞,-1). (2) 当m≠0时，原不等式的解为(nx-2)(x+1)0,. 当m-2时，原不等式的解为x∈. 当m=0时，原不等式的解为(x+1)20,无解。 当-2m0时，原不等式的解为x∈。 当m0时，原不等式的解为x∈. 例9．(1)设不等式的解集为，试求不等式的解集。 解：不等式的解集为，∴a0,并且是方程的两个正根。于是有，。 又也， 所以是方程的两个正根。并且。 所以的解集为. （2）已知关于x的不等式的解集为（1，2），解关于x的不等式。 解：由，令，则的解集为。 练习：已知关于x的不等式的解集为（-2，-1）∪（2，3），解关于x的不等式。 解：，令，则或进而有 二．二次函数二次不等式二次方程 二次函数的单调性，闭区间上的最值与图象对称轴的关系。 二次函数的几种表示形式； ①标准式：； ②顶点式：； ③零点式；； ④三点式：+ + 求解“三个二次”的常用方法 构造函数法、变量分离法、数形结合法、巧用特殊值法及基本不等式法。 例1 设，证明：二次函数 的最小值不超过。 分析：引导学生用特殊值。 ，又，，由于，故 例2