有限元与有限差分法基础材料.ppt

第二讲 有限元与有限差分法基础;　　“ 有限元法 ” 的基本思想早在20世纪40年代初期就有人提出，但真正用于工程中则是电子计算机出现以后。 　　 “ 有限元法 ” 这一名称是1960年美国的克拉夫（Clough，R.W.）在一篇题为 “平面应力分析的有限元法” 论文中首先使用。此后，有限元法的应用得到蓬勃发展。 到20世纪80年代初期国际上较大型的结构分析有限元通用程序多达几百种，从而为工程应用提供了方便条件。由于有限元通用程序使用方便，计算精度高，其计算结果已成为各类工业产品设计和性能分析的可靠依据。 ; 有限元法最初用于飞机结构的强度设计，由于它在理论上的通用性，因而它可用于解决工程中的许多问题。 　　目前，它可以解决几乎所有的连续介质和场的问题，包括热传导、电磁场、流体动力学、地质力学、原子工程和生物医学等方面的问题。 机械设计中，从齿轮、轴、轴承等通用零部件到机床、汽车、飞机等复杂结构的应力和变形分析（包括热应力和热变形分析）。 　　有限元法不仅可以解决工程中的线性问题、非线性问题，而且对于各种不同性质的固体材料，如各向同性和各向异性材料，粘弹性和粘塑性材料以及流体均能求解； 　　对于工程中最有普遍意义的非稳态问题也能求解。;2.1 有限元法基础;物理系统举例;有限元模型;自由度（DOFs）;节点(node)和单元(element) 网格（grid）;节点和单元;节点和单元;为什么要离散？;有限元分析的过程;1.连续体离散化;　　单元的划分基本上是任意的，一个结构体可以有多种划分结果。但应遵循以下划分原则： 　　(1) 分析清楚所讨论对象的性质，例如，是桁架结构还是结构物，是平面问题还是空间问题等等。 　　(2) 单元的几何形状取决于结构特点和受力情况，单元的几何尺寸(大小)要按照要求确定。一般来说，单元几何形体各边的长度比不能相差太大。 　　(3) 有限元模型的网格划分越密，其计算结果越精确，但计算工作量就越大。因此，在保证计算精度的前提下，单元网格数量应尽量少。 　　(4) 在进行网格疏密布局时，应力集中或变形较大的部位，单元网格应取??一些，网格应划分得密一些，而其他部分则可疏一些。;　　(5) 在设计对象的厚度或者弹性系数有突变的情况下，应该取相应的突变线作为网格的边界线； 　　(6) 相邻单元的边界必须相容，不能从一单元的边或者面的内部产生另一个单元的顶点。 　　(7) 网格划分后，要将全部单元和节点按顺序编号，不允许有错漏或者重复。 　　(8) 划分的单元集合成整体后，应精确逼近原设计对象。原设计对象的各个顶点都应该取成单元的顶点。 所有网格的表面顶点都应该在原设计对象的表面上。所有原设计对象的边和面都应被单元的边和面所逼近。 ; 有限元分析模型图例;2.单元分析;2.单元分析(2); 3. 整体分析;4. 确定约束条件;5. 有限元方程求解; (1)位移法 　　以节点位移作为基本未知量，通过选择适当的位移函数，进行单元的力学特性分析。在节点处建立单元刚度方程，再组合成整体刚度矩阵，求解出节点位移后，进而由节点位移求解出应力。 位移法优点是比较简单，规律性强，易于编写计算机程序。所以得到广泛应用，其缺点是精度稍低。 (2)力法 　　以节点力作为基本未知量，在节点处建立位移连续方 程，求解出节点力后，再求解节点位移和单元应力。 　　力法的特点是计算精度高。 　(3)混合法 　　取一部分节点位移和一部分节点力作为基本未知量，建立平衡方程进行求解。 ;单元特性的推导方法 ;1. 直接刚度法 直接刚度法是直接应用物理概念来建立单元的有限元方程和分析单元特性的一种方法。这一方法仅能适用于简单形状的单元，如梁单元。但它可以帮助理解有限元法的物理概念。 ;　　? 梁在横向外载荷（可以是集中力或分布力或力矩等）作用下产生弯曲变形，在水平载荷作用下产生线位移。 　　? 对于该平面简支梁问题： 　　梁上任一点受有三个力的作用： 水平力Fx， 　　　　　　　　　　　　　　　　 剪切力Fy ， 　　　　　　　　　　　　　　　　 弯矩Mz。　　 　　相应的位移为： 水平线位移u， 　　　　　　　　 　挠度v ， 　　　　　　　　　 转角? z 。 ;　　为使问题简化，可把图示的梁看作是一个梁单元。 　　如图1所示，当令左支承点为节点 i ，右支承点为节点 j 时， 　　则该单元的节点位移和节点力可以分别表示为：;　　显然，梁的节点力和节点位移是有联系的。在弹性小变形范围 内，这种关系是线性的，可用下式表示 ;　　上式(1-3b)称为单元有限元方程，或称为单元刚度方程，它代表了单元的载荷与位移之间（或力与变形之间）