中南大学随机过程第4章.pptVIP

计算机科学与工程学院　顾小丰 随机过程与排队论 数学科学与计算技术学院 胡朝明 Email：math_hu2000@csu.edu.cn * 上一讲内容回顾 随机过程的基本概念 随机过程的定义 随机过程的分布 随机过程的数字特征 重要随机过程 独立过程 独立增量过程 3.正态过程(高斯过程) 正态过程在电子技术中经常遇到，例如温 度限制二极管的噪声、电子元器件的噪声等。正 态过程在随机过程中起着重要的作用。一方面， 很多重要随机过程都是正态过程，或者可以用正 态过程来近似表示；另一方面，正态过程具有很 多良好的性质，对正态过程来说，许多问题的回 答比其它过程较为容易。 正态过程的定义 给定随机过程{X(t),t?T}，如果对任意正整数 n及t1,t2,…,tn?T，n维随机变量(t1),X(t2),…,X(tn)) 的联合概率分布为n维正态分布，则称随机过程 {X(t),t?T}为正态过程(或高斯过程)。 设{X(t),t?T}为正态过程，则其有限维概率分 布都是正态分布。 正态过程的一维概率分布 均值函数 方差函数 一维概率分布 一维概率密度函数 一维特征函数 正态过程的二维概率分布 均值函数向量 二阶协方差矩阵 二维概率分布 二维概率密度函数 二维特征函数 正态过程的n维概率分布 均值函数向量 n阶协方差矩阵 n维概率分布 正态过程的n维概率分布 n维概率密度函数 例 给定随机过程{X(t),t?T}， X(t)＝X0+Vt, 0≤t＜+∞ 其中X0和V是相互独立的标准正态N(0,1)随机变量。 证明{X(t),t?T}为正态过程，并写出一、二、n维 概率密度和特征函数。 例(续1) 因 例(续2) 一维概率密度函数 例(续3) 二维概率密度函数 例(续4) n维概率分布 例(续5) n维概率密度函数 4. 维纳过程(Brown运动) 英国植物学家Brown于1827年观察到悬浮于 液体中的花粉微粒的运动是非常不规则的，后人 把这种运动称为Brown运动。1918年，Wiener提 出了Brown运动的精确数学公式，所以Brown运 动又称为Wiener过程。 维纳过程的定义 如果随机过程{W(t),t≥0}满足下列条件： W(0)＝0； E[W(t)]＝0； 具有平稳独立增量； t0，W(t)~N(0,σ2t)，(σ0) 则称随机过程{W(t),t≥0}是参数为σ2的维纳过 程(或布朗运动)。 布朗运动是应用概率论中最有用的随机过程之 一，已大量地在概率统计分析股票价格水平、通 信理论、生物学、管理科学等领域得到广泛应用. 维纳过程的概率分布及数字特征 一维概率密度函数 一维特征函数 增量分布 协方差函数 维纳过程的二维概率分布 均值函数向量 二阶协方差矩阵 二维概率分布 二维概率密度函数 二维特征函数 维纳过程的n维概率分布 均值函数向量 n阶协方差矩阵 n维概率分布 维纳过程的n维概率分布 n维概率密度函数 维纳过程的性质 维纳过程是平稳独立增量过程。 维纳过程是正态过程。 维纳过程是马尔可夫过程。 维纳过程的性质 从而 维纳过程的性质 因此 X～N(O, CX) 维纳过程的性质 得证{W(t),t≥0}是正态过程。 本讲主要内容 正态过程 维纳过程 下一讲内容预告 泊松过程 泊松过程的两个定义及其等价性 泊松过程的概率分布 泊松过程的数字特征 泊松过程的性质 非齐次泊松过程 复合泊松过程 更新计数过程 胡朝明 n维特征函数 解 设 从而 故{X(t),t?T}为正态过程。 均值函数 m(t)＝E[X(t)]＝0； 协方差函数 C(s,t)＝1+st； 方差函数 D(t)＝1+t2； 一维概率分布 X(t)~N(0,1+t2)； 一维特征函数 二维特征函数 其中 均值 O＝(0,0)T 二维概率分布 (X(s),X(t))T~N(O,C) 协方差阵 n维特征函数 n维特征函数 证明 2. 设 {W(t),t≥0}是参数为σ2的维纳过程，0t1t2…tn。 Xk＝W(tk)－W(tk-1)～N(0, σ2(tk-tk-1))， t0＝0，k=1,2,…,n 相互独立。 W(tk)＝X1+ X2+…+ Xk，k=1,2,…,k 故