高考数学新一轮复习 详细分类题库 考点32 数学归纳法 文理（含详解，13高考题）.docVIP

PAGE  考点32 数学归纳法 一、填空题 1. （2013·湖北高考理科·Ｔ14）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3, 6,10，…，第n个三角形数为，记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式： 三角形数 N(n,3)= ， 正方形数 N(n,4)=n2， 五边形数 N(n,5)= ， 六边形数 N(n,6)=， ……………………………………… 可以推测N(n,k)的表达式，由此计算N(10,24)= 【解题指南】归纳出结论，代入数值计算。 【解析】 三角形数 ， 正方形数 =， 五边形数 =， 六边形数 ==， ……………………………………… 推测k边形 . 所以. 【答案】1000 二、解答题 2.（2013·江苏高考数学科·Ｔ23）设数列1，-2，-2，3，3，3，-4，-4，-4，-4，………，…,即当时。记.对于，定义集合Pl={n|Sn为an的整数倍,,且1≤n≤} (1)求P11中元素个数. (2)求集合P2000中元素个数. 【解题指南】主要考查集合、数列的概念和运算、计数原理等基础知识, 考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力 【解析】由数列的定义得 = 1, = - 2, = - 2, = 3, = 3, = 3, = - 4, = -4, = - 4, = - 4, = 5, 所以 = 1, = - 1, = - 3, = 0, = 3, = 6, = 2, = -2, = -6, = -10, = -5, 从而= ，= 0,= , = 2, = -,所以集合中元素的个数为5. （2）先证:Si(2i+1)= -i(2i+1)(iN*). 事实上, ①当 i = 1 时, Si(2i+1)= S3 = -3, -i(2i+1)= -3, 故原等式成立; ②假设 i =m 时成立, 即 Sm(2m+1)= -m(2m+1), 则 i =m+1 时, S(m+1)(2m+3) = Sm(2m+1) + (2m+1)2-(2m+2)2= -m(2m+1)-4m-3 = -(2m2+5m+3)= -(m+1)(2m+3) 综合①②可得 Si(2i+1)= -i(2i+1). 于是S(i+1)(2i+1)= Si(2i+1) +(2i+1)2= -i(2i+1)+(2i+1)2= (2i+1)(i+1). 由上述内容可知 Si(2i+1)是 2i+1 的倍数, 而 ai(2i+1)+j= 2i+1( j = 1, 2, …, 2i+1), 所以Si(2i+1)+j=Si(2i+1) +j(2i+1)是 ai(2i+1)+j(j = 1, 2, …, 2i+1)的倍数.又 S(i+1)(2i+1) = (i+1)(2i+1)不是 2i + 2 的倍数, 而 a(i+1)(2i+1)+j= - (2i + 2) (j =1, 2, …, 2i+2), 所以S(i+1)(2i+1)+j=S (i+1)(2i+1)-j(2i+2)=(2i+1)(i+1)-j(2i+2)不是a(i+1)(2i+1)+j ，(j =1, 2, …, 2i+2)的倍数, 故当 =i(2i+1)时, 集合中元素的个数为1+3+…+(2i-1)=i2, 于是=i(2i+1)+j (1j2i+1)时, 集合中元素的个数为i2+j. 又2000 = 31(231+1)+47, 故集合P2000中元素的个数为312+47=1 008.