傅立叶变换性质证明.pptVIP

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 信号与系统 信号与系统 § 3.4 傅立叶变换的性质 若 则 其中，a, b 均为常数。 说明:相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。 一、线性性质 例: 若 ，则 二、时移性质 说明:信号在时域的中的延时和频域中的移相相对应。 应用：要使信号 f (t) 经过系统传输之后延时 t0，则必须设计成使系统的每一个频率分量都滞后相位ωt0，否则会引起失真。 例：求图(a)所示三脉冲信号的频谱。 解： 令f0(t)表示矩形单脉冲信号，其频谱函数为F0(ω)，则 二、时移性质 因为 脉冲个数增多，频谱包络不变，带宽不变。 由时移性质可知三脉冲函数f (t)的频谱函数F(ω)为 二、时移性质 若 ，则 三、频移性质 说明:信号在时域中乘以 ，实际上是将信号在频域当中将整个频谱沿频率轴右移ω0个单位。 频谱搬移技术在通信中得到了广泛的应用，诸如调幅、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成。 频谱搬移的原理是将信号乘以所谓载波信号。一般载波信号选取为正弦信号 或 。 三、频移性质 若 ， 为任意实常数， 则 四、尺度变换性质 当 a=－1 时，有 说明:信号在时域中压缩（a1）等效于在频域中扩展 信号在时域中扩展（a1）等效于在频域中压缩。 在无线通信中，通信速度与占用带宽是一对矛盾。 物理意义:信号的波形压缩 a 倍，则信号随时间变化加快 a 倍，则它包含的频率分量也增加等效于在频域中扩展a倍，即信号的频谱扩展 a 倍。根据能量守恒定理，各频率分量大小必然减小a倍。 四、尺度变换性质 如果是尺度变换和时移同时发生，则有下面性质： 即 四、尺度变换性质 延时t0 尺度变换a 延时t0 尺度变换a 尺度变换a 延时t0/a 尺度变换a 延时t0/a 或 若 f (t) 是实函数 五、共轭对称性 说明：对实时间信号，信号的幅频为偶对称，相频为奇对称， 傅立叶变换的实部为偶对称，虚部为奇对称。 其中 则 若 f (t)为实偶函数，即 f (t) = f (? t) ，此时 则 F(ω) ＝R(ω)必为 ω 的实偶函数。 五、共轭对称性 其中 是 的复共轭。 若 f (t)为实奇函数，即f (t) = ? f (? t) ，此时 则 F(ω) ＝jX(ω) 必为 ω 的虚奇函数。 对任意信号 f (t) ，若 则有 若 ，则 六、正反变换的对称性 根据傅立叶反变换 即有 所以 得 亦即 证明: 若 为实偶函数，则 六、正反变换的对称性 说明: 若 f (t)的傅立叶变换为 F(ω) ，则形状为 F(ω)的波形对应傅立叶变换就是 2π f (?t) 。若 f (t) 是实偶函数，则时域与频域完全对称。 六、正反变换的对称性 例: 求取样信号 的频谱。 解： 此题直接用傅立叶变换的定义公式求信号频谱很麻烦，这里根据傅立叶变换的对称性来求。 由前面知道，高度为 E ，宽度为τ 的对称矩形脉冲的频谱为 根据傅立叶变换的对称性，有 上式中，令 ，E=1，则有 若 七、时域卷积性质 由时移性质得 所以 证明： 则 即 八、频域卷积性质 令 得 若 所以 证明： 则 频域卷积也称调制定理，表示用信号去调制另一信号振幅。 若 , 则 九、时域微分性质 证明：由傅立叶反变换 两边对时间变量 t 求导得 推广：对高阶导数情况，有 说明：在频域分析中常利用这一性质来分析微分方程描述的LTI系统。 若