数学奥林匹克初中训练题113数学奥林匹克初中训练题113.pdfVIP

课外训练 数学奥林匹克初中训练题 (113) 第 一 试 一、选择题 (每小题 7 分 ,共 42 分) 1.有若干人参加测试 ,要求回答五道试 题 ,并且规定凡答对 3 题或 3 题以上者为测 试合格. 测试结果是 :第一至五题每题答对的 人数分别为 81、91、85、79、74 ,这些测试者中 有 70 人合格. 则参加测试的至少有 ( 　　) 人. (A) 98 　 (B) 99 　 (C) 100 　 (D) 110 图 1 2. 如 图 1 , 在 △ABC 中 ,AB = AC , ∠BAC = 70°, P 是 △ABC 内 一 点 , ∠ABP =25°, ∠BCP =5 °, PB =2 , BC = m + 3 ( m 0 ) . 则 AB 的长为 ( 　　) . (A) m (B) m 2 + 1 (C) m 2 + 2 (D) m 2 + 3 3. 已知实数 a、b、c 满足 2 a = 5 ,2 b = 10 , 2 c = 80. 则代数式 2006 a -3344 b +1338 c 的 值为 ( 　　) . (A) 2007 (B) 2008 (C) 2009 (D) 2010 4.在 1008 , 1009 , ?, 2008 这 1001 个根式中 ,与二次根式 2016 是同类根式的 共有 ( 　　)个. 图 2 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 5. 如图 2 ,点 E、F 分 别在矩形 ABCD 的边 BC、 AB 上 , BF =3 , BE =4 , CE =3 , AE 与 CF 交于点 P , 且 ∠APC = ∠AEB + ∠CFB. 则矩形 ABCD 的 面积为 ( 　　) . (A) 70 (B) 63 (C) 77 (D) 6518 6. 已知 P 是半径为 15 cm 的 ⊙O 内一 点 ,过 P 的所有弦中 ,长为整数厘米的弦有 25 条. 则 OP 的取值范围是 ( 　　) . (A) 12 , 611 2 (B) 12 , 613 2 (C) 12 , 611 2 (D) 12 , 613 3 二、填空题 (每小题 7 分 ,共 28 分) . 1. 以 2088 为分母的最简真分数共有 个. 图 3 2. 如图 3 , BD 是 △ABC 的 角 平 分 线 , ∠A = 60°, AB = 3 k , AD =3 , CD = 3 k -6 . 则 ∠ABC 的 度 数 是 . 3.已知 x、m、n 为正整数 , m + n = 5 , x 2 + m 与| x2 - n | 均为质数. 则 x 的可能取 值的个数是 . 4. 已知 P 是中心为O 的正方形ABCD 内 一点 , AP ⊥BP , OP = 2 , PA =6 . 则正方形 ABCD 的边长为 . 第 二 试 一、(20 分)一玩具工厂用于生产一批小 熊、小猫的全部劳动力为 273 个工时 ,原料为 243 个单位. 生产一个小熊要使用 9 个工时、 12 个单位原料 ,利润为 144 元 ;生产一个小猫 要使用 6 个工时、3 个单位原料 ,利润为 81 元. 在劳动力和原料的限制下 ,如何合理安排 生产小熊、小猫的个数 ,可以使生产小熊和小 猫的总利润最高 ? 43 中 等 数 学 二、(25 分) 如图 4 , △ABC 的内切圆 ⊙I 图 4 分别切 AB、 AC 于点 D、 E , 延长 DI 至 M、EI 至 N , 使 IM = IN =9 IE , B 、 I、C、M、N 五 点 共 圆 , △ABC 的周 长与边 BC 之比为最简分数 m n ( m、n 为互质 的正整数) . 求 100 m + n 的值. 三、(25 分)解方程组 a + b + c + d = 2 , 　　　　　　① a 2 - b 2 + c 2 - d 2 = 0 , 　　　　　　② a 3 + b 3 + c 3 + d 3 = 7 , 　　　　　　③ a 4 - b 4 + c 4 - d 4 = 0. 　　　　　　④ 参 考 答 案 第 一 试 　　一、1. C. 设参加测试的人数为 n . 这 n 个人中共答错 : 5 n - (81+91+85+79+74 ) = 5 n -410 (题) . 因为答错 3 题或 3 题以上的人为不合 格 ,所以 ,最多有5 n -410 3 人不合格 ,即至少 有 n - 1 3 (5 n -410 ) 人合格. 于是 , n - 1 3 (5 n -410 ) ≤70. 解得 n ≥100. 则 n 的最小值为 100. 注 :30 人不合格是可以实现的. 例如 :有 15 人答错第一、四、五题 ,4 人答错第一、三、 四题 ,9 人答