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《初等数论》复习练习 求24871与3468的最大公因数? [24871,3468]=? 3．求[525,231]=?证明对于任意整数,数是整数. 6.求解不定方程1)、 2)、. 3).求不定方程的整数解 7、解同余式（组） (1) 8、求. 9.求84965除以13的余数。 10．n=9450，求n的标准分解式，并求τ（n），σ（n），φ（n）。 11．求2004！的末尾有多少个连续的零。 12．判断x=1*1996+2*1996+3*1996+…1996*1996除以9余几？ 13．判断359是否是质数。 14．M=8，写出M的一个完全剩余系。 15．X是方程X2+X-1=0的根，求[X]及{X} 16. 欧拉函数的值,n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 17、如果整数的个位数是5,则该数是5的倍数. 18．128*935*874*（），要使这个乘积的最后4个数字都是0，说明（）最小应填什么数。 19. [x]=9，[y]=10，[z]=11，求[x+y-z]的值 20．若今天是星期二，那么从今天起再过22010天是星期几？为什么？ 设A=2010 ∵（2，7）=1， ∴由费马小定理，26≡1（mod7）， 2010=6×333+2≡2（mod6） ∴A=6q+2， 2A=26q+2=26q22≡22（mod7）≡4（mod7） 故是星期六 参考解答： 1.解：24871＝711×17×19， ????????? 3468＝223×172 ??????? ∴（24871，3468）＝17. 2.由上题得???????? [24871，3468]＝22×3×7×17×17×19＝5073684. 3.由上题的方法 ，或用短除法求得， ??????? [525，231]＝1121×25＝5775。 4.见课本P28。5.证明：原式＝n（n+1）（n+2） ?????? ∵2个连续整数的积是2的倍数，3个连续整数的积为3的倍数（可用数学归纳法等方法证明）， 而（2，3）＝1， ????? ∴6|n（n+1）（n+2）。即得结论。 ? 6.1）解：∵（9，21）＝3|144， ∴方程有解，原方程化为3X+7Y＝48. 取特解x0＝16，y0＝0，得通解?t∈z， 方程的正整数解须满足x0,y0,得0t16/7, ∴得方程的解为(9,3),(2,6). 2)解：∵（6，17）＝1|18，∴方程有解. 取特解x0＝3，y0＝0，得通解? t∈z， 方程的正整数解须满足x0,y0,得0t, ∴得方程的解为满足?,?? t∈z 的所有整数解,有无数个. 3)解:用转辗相除法 原式化为: 7z=4-25x-13y,? z=(4-25x-13y)= -3x-y+ (4-4x-6y). 令 (4-4x-6y).=u,则u∈z， 故得4x+6y+7u=4,同上理,再把上式化为4x=4-6y-7u,得 x=1-y-u-(2y+3u)/4, 令(2y+3u)/4=v,则V∈z. 故得2y+3u-4v=0,∴y=(4v-3u)/2=2v-u-u/2,令u/2=t,则t∈z., 得u=2t,故得 ??????? y=2v-3t, ?????? x=1-(2v-3t)-2t-v=1-3v+t, ????? z=-3(1-3v+t)-(2v-3t)+2t=-3+v+2t, 即原方程的解为?t∈z,V∈z.7.解:(7,8,9)=1,先解同余方程8*9b1≡1(mod7), 得2b1≡1(mod7), b1=4. 同理解同余方程63b2≡1(mod8),56b3≡1(mod9), 得b2=7,b3=5. 故方程的解为X≡1*4*72+2*7*63+3*5*56+7*8*9L≡2010+504L≡498(mod504). 8.解:题目相当于求3364模100的余数. ∵φ(100)=φ(22*52)=100(1-1/2)(1-1/5)=40, 3φ(100)≡1(mod100),340≡1(mod100), ∴3364≡39*40+4≡34≡81(mod100), 即所求两数码为8