数列例题(含答案)数列例题(含答案).docVIP

1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列{bn}的前n项和为Tn且（λ为常数）．令cn=b2n（n∈N*）求数列{cn}的前n项和Rn． 【解答】解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a2n=2an+1，取n=1，得a2=2a1+1，即a1﹣d+1=0① 再由S4=4S2，得，即d=2a1② 联立①、②得a1=1，d=2． 所以an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1； （2）把an=2n﹣1代入，得，则． 所以b1=T1=λ﹣1， 当n≥2时，=． 所以，． Rn=c1+c2+…+cn=③ ④ ③﹣④得：= 所以； 所以数列{cn}的前n项和． 　 2．等差数列{an}中，a2=4，a4+a7=15． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值． 【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则， 解得， 所以an=3+（n﹣1）=n+2； （Ⅱ）bn=2+n=2n+n， 所以b1+b2+b3+…+b10=（2+1）+（22+2）+…+（210+10） =（2+22+…+210）+（1+2+…+10） =+=2101． 　 3．已知数列{log2（an﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）证明++…+＜1． 【解答】（I）解：设等差数列{log2（an﹣1）}的公差为d． 由a1=3，a3=9得2（log22+d）=log22+log28，即d=1． 所以log2（an﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，即an=2n+1． （II）证明：因为==， 所以++…+=+++…+==1﹣＜1， 即得证． 　 4．已知{an}是正数组成的数列，a1=1，且点（，an+1）（n∈N*）在函数y=x2+1的图象上． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若列数{bn}满足b1=1，bn+1=bn+2an，求证：bn?bn+2＜bn+12． 【解答】解：解法一： （Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1﹣an=1，又a1=1， 所以数列{an}是以1为首项，公差为1的等差数列． 故an=1+（n﹣1）×1=n． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1﹣bn=2n． bn=（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1 =2n﹣1+2n﹣2+…+2+1 = ∵bn?bn+2﹣bn+12=（2n﹣1）（2n+2﹣1）﹣（2n+1﹣1）2 =（22n+2﹣2n﹣2n+2+1）﹣（22n+2﹣2?2n+1+1） =﹣2n＜0 ∴bn?bn+2＜bn+12 解法二： （Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）∵b2=1 bn?bn+2﹣bn+12=（bn+1﹣2n）（bn+1+2n+1）﹣bn+12=2n+1?bn+1﹣2n?bn+1﹣2n?2n+1 =2n（bn+1﹣2n+1） =2n（bn+2n﹣2n+1） =2n（bn﹣2n） =… =2n（b1﹣2） =﹣2n＜0 ∴bn?bn+2＜bn+12 　 5．已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2 （1）求{an}的通项公式； （2）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？ 【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d． ∵a4﹣a3=2，所以d=2 ∵a1+a2=10，所以2a1+d=10 ∴a1=4， ∴an=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…） （II）设等比数列{bn}的公比为q， ∵b2=a3=8，b3=a7=16， ∴ ∴q=2，b1=4 ∴=128，而128=2n+2 ∴n=63 ∴b6与数列{an}中的第63项相等 　 6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5+a13=34，S3=9． （1）求数列{an}的通项公式及前n项和公式； （2）设数列{bn}的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm（m≥3，m∈N）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d．由已知得 即解得． 故an=2n﹣1，Sn=n2 （2）由（1）知．要使b1，b2，bm成等差数列，必须2b2=b1+bm， 即，（8分）． 移项得：=﹣=， 整理得， 因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5． 当t=2时，m=7；当t=3时，m=5；当t=5时，m=4． 故存在正整数t，使得b1，b2，bm成等差数列． 　 7．设{an}是等差数列，bn=（）an．已知b1+b2+b3=，b1b2b3=．求等差数列的通项an． 【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，