chap5大数定律和中心极限定理.pptVIP

在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理. 我们只讨论几种简单情形. 下面给出的独立同分布随机变量序列的中心极限定理，也称列维一林德伯格（Levy－Lindberg）定理. 定理4（独立同分布下的中心极限定理） 设X1,X2, …是独立同分布的随机 变量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,…，则随机变量之和 的标准化变量 的分布函数Fn(x)对于任意x满足 它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差 的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布. 注 3、虽然在一般情况下，我们很难求出 的分布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布. 定理5(棣莫佛－拉普拉斯定理） 设随机变量 服从参数n, p(0p1)的二项分布，则对任意x，有 定理表明，当n很大，0p1是一个定值时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变量 的分布近似正态分布 N(np,np(1-p)). 证 定理表明，当n很大，0p1是一个定值时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变量 的分布近似正态分布 N(np,np(1-p)). 即 例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率. 由题给条件知，诸Xi独立， 16只元件的寿命的总和为 解: 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16 E(Xi)=100, D(Xi)=10000 依题意，所求为P(Y1920) 由题给条件知,诸Xi独立, 16只元件的寿命的总和为 解: 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16 E(Xi)=100,D(Xi)=10000 依题意，所求为P(Y1920) 由于E(Y)=1600, D(Y)=160000 由中心极限定理, 近似N(0,1) P(Y1920)=1-P(Y?1920) =1-?(0.8) ?1- =1-0.7881=0.2119 例2 例3 解：我们将船舶每遭受一次波浪冲击看作是一次试验，并假设各次试验是独立的。在90000次波浪冲击中，纵摇角度大于3的次数记为X，则X是一个随机变量，且有 利用定理5，即有 把n=90000,p=1/3代入,即有 例４ 我们介绍了中心极限定理 在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理. 中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实. * * * 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象. Chap5 大数定律及中心极限定理 研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种: 与 大数定律 中心极限定理 为此先来引进证明下述定理所需要的预备知识－切比雪夫不等式 §5.1 切比雪夫不等式 切比雪夫不等式 设随机变量X有期望E(X)和方差 ，则对于 任给 0, 或 由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则事件{|X-E(X)| }的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大. 由此可体会方差的概率意义： 它刻划了随机变量取值的离散程度. 证 我们只就连续型随机变量的情况来证明. 当方差已知时，切比雪夫不等式给出了随机变量 X与它的期望的偏差不小于 的概率的估计式 . 可见，对任给的分布，只要期望和方差 存在，则 X取值偏离E(X)超过 的概率小于0.111 . 如取 例1 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率 . 解：设每毫升白细胞数为X 依题意，E(X)=7300,D(X)=7002 所求为 P(5200 X 9400) P(5200 X 9400) =P(5200-7300 X-7300 9400-7300) = P(-2100 X-E(X) 2100) = P{ |X-E(X)| 2100} 由切比雪夫不等式 P{ |X-E(X)|