大学高等代数2次型试题.docVIP

第五章 二次型 §1 二次型及其矩阵表示 一、二次型及其矩阵表示 设是一个数域,一个系数在中的的二次齐次多项式 称为数域上的一个元二次型简称二次型. 令由于所以二次型(1)可写成 系数排成一个矩阵 (2) 它称为二次型的矩阵.因为所以这样的矩阵对称矩阵因此二次型的矩阵都是对称的.令 或例的矩阵及矩阵形式. 注意二次型(1)的矩阵A的元素,当时正是它的项的系数的一半,而是项的系数因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此可得,若二次型且,则.定义1设是两组文字系数在P中关系式 (4) 称为由到的一个线性替换或简称线性替换.如果系数行列式,那么线性替换()就称为非退化的.线性替换把二次型变成二次型.令,于是线性替换可以写成 或者.经过一个非退化的线性替换二次型变成二次型替换后的二次型与原二次型之间有什么关系. 二、矩阵的合同关系 设是一个二次型作非退化线性替换得到一个的二次型 容易看出矩阵也是对称的由此即得.这是前后两个二次型的矩阵的关系。 定义2 数域P上两个阶矩阵称为合同的如果有数域上可逆的矩阵,使得. 因此经过非退化的线性替换新二次型的矩阵与原二次型的矩阵合同的合同是矩阵之间的一个关系具有以下性质: 1) 自反性:任意矩阵都与自身合同. 2) 对称性:如果与合同,那么与合同. 3) 传递性:如果与合同,与合同,那么与合同. 指出在变换二次型时总是要求所作的线性替换是非退化的从几何上看这一点是自然的因为坐标变换一定是非退化的一般地当线性替换是非退化时得也是一个非退化线性替换它把所得的二次型还原.这样就从所得二次型的性质推知原二次型的一些性质.§2 标准形 一、二次型的标准型二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型 . （1） 定理1 数域上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和的形式. 是(1)的形式,假定n-1 元的二次型定理成立. 对n的情形,设,分三种情形讨论. (1) 中至少一个不为零.不妨,这时 = = =， 其中是的二次型. 令,即,这是一个非退化的线性替换,它使 .由归纳假设,有非退化的线性替换 使,于是非退化的线性替换使== .这时定理成立. (2),且至少有一个,不妨设.令 ,它是一个非退化的线性替换,在它之下 ， 上式是关于的二次型,属于(1)的情形,此时定理成立. (3),此时是n-1 元的二次型,由归纳假设定理成立. 二次型经非退化线性替换所变成的平方和称为标准形. 例 化二次型成标准形. 二、对角矩阵 知,二次型的矩阵是对角矩阵反过来矩阵为对角形的二次型按上一节的讨论，经过非退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此用矩阵的语言定理1可以叙述为： 定理2 在数域上任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 对于任意一个对称矩阵都可以找到一个可逆矩阵使成对1.这时的变量替换为 令, 则上述变量替换相应于合同变换为计算可令 . 于是和可写成分块矩阵,这里为的转置为级单位矩阵.这样 矩阵是一个对称矩阵由归纳法假定有可逆矩阵使为对角形令,于是 , 这是一个对角矩阵我们所要的可逆矩阵就是.2. 但只有一个.这时只要把的第一行与第行互换，再把第一列与第列互换，就归结成上面的情形根据初等矩阵与初等变换的关系取 显然.矩阵就是把的第一行与第行互换再把第一列与第列互换.因此左上角第一个元素就是这样就归结到第一种情形. 3. 但有一与上一情形类似作合同变换可以把搬到第一行第二列的位置，这样就变成了配方法中的第二种情形.与那里的变量替换相对应，取,于是的左上角就是, 也就归结到第一种情形. 4. 由对称性也全为零.于是,是级对称矩阵.由归纳法假定有可逆矩阵使成对角形.取就成对角形.§3 唯一性 经过非退化线性替换二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵.由第四章§4定理4合同的矩阵有相同的秩这就是说经过非退化线性替换后二次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对角矩阵而对角矩阵的秩就等于它对角线上不为零的平方项的个数.因之在一个二次型的标准形中系数不为零的平方项的个数是唯一确定的与所作的非退化线性替换无关二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩. 复唯一性. 设是一个复系数的二次型，由本章定理1，经过一适当的非退化线性替换后变成标准形不妨假定化的标准形是 . (1) 易知是的矩阵的秩.因复数总可以开平方再作一非退化线性替换 (2) (1)就变成 (3) (3)称为复二次型的规范形.显然规范形完全被原二次型矩阵的秩所决定，因此有 定理3 任意一个复系数的二次型经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形且规范形是唯一的. 定理3换个说法就是任一复对称矩