线性代数—第五章—习题课.docVIP

第四章　向量组的线性相关性 一　重点内容 1 非零正交向量组，正交矩阵 ? 非零向量正交的充要条件是： ? 非零正交向量组是线性无关的 ? 齐次线性方程组Ax=O的解集(解空间)是由与A的行向量都正交的全部向量构成 ? [定义] 若(或或)，则A是正交矩阵。 ? 正交矩阵的性质：若A, B是正交矩阵，①也是正交矩阵； ②AB也是正交矩阵； ③? n阶矩阵A是正交矩阵的充要条件： A的n个列向量(或行向量)是一个正交单位向量组(即Rn的一个规范正交基) 2 矩阵的特征值和特征向量 ? [定义] 若Ax=?x，其中x?O，则数?称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于(或属于)特征值?的特征向量。 ? 设 n 阶矩阵A的全部特征值为，则 ① [tr(A)是A的n个主对角元之和，称为A的迹] ② ??0是矩阵A的一个特征值，是对应于特征值?0的特征向量， 则，① k?0是kA的一个特征值； ②是的一个特征值； ③是的一个特征值； [其中， 是关于变量x的k次多项式，] ④若A可逆，是的一个特征值. 且仍是以上各矩阵分别属于k?0,,,的特征向量. ? A和AT有相同的特征值(即特征多项式相同)，但特征向量不一定相同? 矩阵A对应于不同特征值的特征向量线性无关。 3 相似矩阵 ? [定义] 若(其中P是可逆矩阵)? 若A和B相似，则 ①和相似； ②和相似； ? 相似矩阵有相同的特征值，但特征向量不一定相同? 矩阵A可对角化是指：存在可逆矩阵P，使得A和对角阵相似，即? n阶矩阵A可对角化的条件： ①A有n个线性无关的特征向量(充分必要条件)； ②每个特征值的重数=对应于该特征值的线性无关的特征向量的最大个数③ n阶矩阵A有n个互异的特征值(充分条件)； ④ n阶矩阵A是实对称矩阵(充分条件)。 ? 若n阶矩阵A可对角化()，则对角阵的主对角元就是A的n个特征值；可逆阵P的n个列向量是对应于各特征值的线性无关的特征向量。 4 实对称矩阵 ? 实对称矩阵的特征值都是实数。 ? 实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量相互正交。 ? 对于n阶实对称矩阵A，必存在正交矩阵Q，使得 其中对角阵的主对角元就是A的n个特征值；正交阵Q的n个列向量是对应于各特征值的正交单位特征向量。 5 合同矩阵 ? [定义] 若(其中C是可逆矩阵)，则称? 性质：若矩阵A和B合同，则 6 化二次型为标准形 ? [定义] n元二次型是n元二次齐次多项式 (双重连加号表示法，其中aij=aji) (矩阵表示法，其中， 是n阶实对称矩阵) ? 对于任一n元二次型，存在正交变换x=Qy (Q为n阶正交矩阵)，使得 或者说，对任一n阶实对称矩阵A，存在正交阵Q，使得 其中对角阵的主对角元就是A的n个特征值；正交阵Q的n个列向量是对应于各特征值的正交单位特征向量。 ? 对于任一n元二次型，存在可逆的线性变换x=Cy (C为n阶可逆矩阵)，使得 或者说，对任一n阶实对称矩阵A，存在可逆阵C，使得 [用不同的可逆线性变换化二次型为标准形，其标准形一般是不同的] 7二次型正定性的判别 ? 惯性定理：对于一个二次型，不论作怎样的可逆线性变换使之化为标准形，其中正平方项的项数p (正惯性指数)和负平方项的项数q (负惯性指数)都是唯一的. ? 对于n阶实对称矩阵A，以下命题等价(互为充要条件)： ① xTAx是正定二次型 (或A是正定矩阵)； ? ②xTAx的标准形的 n个系数全大于零 (或A的正惯性指数为n，亦即A合同于E)； ? ③存在可逆矩阵P，使得A=PTP； ? ④A的n个特征值全大于零. ? ⑤A的n个顺序主子式的值全大于零. ? 对于n阶实对称矩阵A，以下命题等价： ① xTAx是负定二次型 (或A是负定矩阵)； ? ②xTAx的标准形的 n个系数全小于零 (或A的负惯性指数为n，亦即A合同于－E)； ? ③存在可逆矩阵P，使得A=－PTP； ? ④A的n个特征值全小于零. ? ⑤A的奇数阶顺序主子式小于零，偶数阶顺序主子式大于零.⑴ 施密特正交化方法 施密特正交化方法是将一组线性无关的向量，作特定的线性运算，构造出正交单位向量组的方法。步骤如下： ①将正交化： 取 ； … … … … … .. … … … … 以上步骤给出的向量两两正交； ②再将单位化： , , …, 利用施密特正交化方法，可将向量空间的一组基规范正交化(即构造出一个规范正交基) 例1 已知是R3的一组基，用施密特正交化方法，构造出R3的一组规范正交基。 解 取 再将单位化，得R3的规范正交基 ⑵ 求非零向量，与已知的线性无关的向量组正交 基本方法是：设是n维向量，根据“齐次线性方程组Ax=O的解集合是由与A的行向量都