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高等代数例题 第一章 多项式 1． 2 （1）、、适合什么条件时，有 2． 7 设，的最大公因式是一个二次多项式，求、 的值。 3． 14 证明：如果，那么 4． 18 求多项式有重根的条件。 5． 24 证明：如果，那么 6． 25 证明：如果，那么， 7． 26 求多项式在复数域内和实数域内的因式分解。 8． 28 （4）多项式 （为奇素数）在有理数域上是否可约？ 9． 1 设，，且。求证： 。 10． 5 多项式称为多项式，的一个最小公倍式，如果（1），； （2），的任意一个公倍式都是的倍式。我们以表示首项系数为1的那个最小公倍式。证明：如果，的首项系数都为1，那么。 11．设 、为整数，除所得余式为 。 12． 求证：如果|，|，且是与的一个组合，那么是与的一个最大公因式。 13． 求。 14． 设 (m ,n 是正整数), 。证：|。 第二章 行列式 1． 5 如果排列的逆序数为，排列的逆序数是多少？ 2． 8 （3） 3． 10 按行列式的定义计算 4． 12 设 ，其中是互不相同的数。 （1）由行列式的定义，说明是一个次多项式； （2）由行列式性质，求的根。 5． 14 6． 17 （5） 7． 18 （3）证明，其中 8． 18 （5），其中。 9．设、、为三维列向量，三阶矩阵的行列式5，则行列式 。 10．若四阶行列式D的第二列的元素依次是 ，2 ，0 ，1 ，它们的余子式分别为5 ，3 ， ,4 ， 则 。 11． 若，则0的根的个数为 【 】 (A) (B) (C) (D) 12．计算行列式D n = 13．求 Dn+1 = 的值。 14．计算阶行列式 第三章 线性方程组 1． 7 （3）解线性方程组 2． 6 设线性无关，证明，，也线性无关。 3． 8 设的秩为，是中的个向量，使得中的每个向量都可以被它们线性表示，证明是的一个极大线性无关组。 4． 12 证明：如果向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）线性表示，那么（Ⅰ）的秩不超过（Ⅱ）的秩。 5． 19 （1） 取什么值时下列线性方程组有解，并求解： 6． 22 取什么值时，线性方程组 有解？在有解的情形，求一般解。 7． 1 设向量可以经向量组线性表示，证明：表示法唯一的充分必要条件是 线性无关。 8． 4 已知两向量组有相同的秩，且其中之一可被另一个线性表示，证明：这两个向量组等价。 9． 7 线性方程组 的系数矩阵为 设是矩阵中划去第列剩下的矩阵的行列式。 证明：是方程组的一个解； 如果的秩为，那么方程组的解全是的倍数。 10．求, , , 的一个极大线性无关组，并将其它向量用极大线性无关组线性表示： ，, , 11．设四，，，。讨论、为何值时 （1） 不能由,, 线性表示； （2） 可由,, 唯一地线性表示，并求出表示式； （3） 可由,, 线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式。 12．维向量是非齐次线性方程组AX=B的两个解， 则导出组AX=0的一个非零解为 。 13．设,,…，是齐次线性方程组的基础解系，向量不是的解， 即。证明：，，，…，线性无关。 14．若是非齐次线性方程组（）的个解，则是 的解的充要条件是． 15． 设整系数方程组，，对任何，，…，均有整数解。 求证：方程组的系数矩阵可逆，且． 第四章 矩阵 设为阶矩阵，将的第1列与第2列交换得，再把的第2列加到第3列得， 则满足的可逆矩阵为 【 】 (A) (B) (C) (D) 2．设（）阶非奇异矩阵的伴随矩阵是，则 【 】 (A) (B) (C)