2016届高三数学暑假培优暨竞赛辅导7.docVIP

2013级暑假培优暨竞赛辅导（6） 编辑：鄢军华 1、设集合，其中符号表示不大于x的最大整数，则．使关于x的方程有重根，则的弧度数为 3、设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比为 4、使关于的不等式有解的实数k的最大值是 5、已知是定义在上的减函数，若成立，则的取值范围是 6、设，则的值域是 7、已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy＝－1，则函数的最小值是 8、正整数集合的最小元素为，最大元素为，并且各元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列，则并集中的元素个数为 9、将各位数码不大于的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列， 则 10、设函数，且对任意 ，则=__________ 11、已知函数f(x)＝． (1)是否存在实数a、b(a＜b)，使得函数f(x)的定义域和值域都是[a、b]？若存在，请求出a、b的值；若不存在，请说明理由． (2)若存在实数a、b，使得函数f(x)的定义域是[a、b]，值域是[ma、mb]( m≠0)，求实数m的取值范围． 12、已知不等式对于恒成立，求的取值范围 13、对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”，若，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即} . (1). 求证：AB (2).若，且，求实数a的取值范围. 14、ABCD是圆内接四边形，点M是CD的中点，对角线AC和BD相交于点P，过点P且与CD相切于点M的圆与AC和BD分别相交于点R和Q，点S在线段BD上，使得BS=DQ，过点S且与AB平行的直线交AC于点T，求证：AT=RC. 答案： 1、解 ∵，的值可取． 当[x]=，则无解 当[x]=，则，∴x=当[x]=0，则无解 当[x]=1，则，∴．所以． 解：因方程有重根，故 得 ，于是 3、3 解：如图，设D，E分别是AC，BC边的中点， 则 由（1）（2）得， ， 即共线， 且 4、 解：令，则 实数k的最大值为 5、或 解：在上定义，又 ?仅当或时， 在上是减函数， 结合（＊）知或 6、 。令，则。因此 。 即得 7、 解：由已知得，故，而，故当时有最小值 8、 解：用表示集的元素个数，设，由，得，于是 ，，；从而 ． 9、； 解：简称这种数为“好数”，则一位好数有个；两位好数有个；三位好数有个；…，位好数有个；，记，因，，即 第个好数为第个六位好数；而六位好数中，首位为的共有个，前两位为的各有个，因此第个好数的前两位数为，且是前两位数为的第个数；而前三位为的各个，则的前三位为，且是前三位数为的第个数； 而前四位为的各个，则的前四位为，且是前四位数为的第个数；则的前五位为，且是前五位数为的第个数，则． 10、解： = 即。 11、解：(1)不存在实数a、b 满足条件．事实上，若存在实数a、b 满足条件，则有x≥a＞0． 故f(x)＝ (i)当a、b∈(0，1)时，f(x)＝在(0，，1)上为减函数，所以即 由此推得a＝b，与已知矛盾，故此时不存在实数a、b(a＜b)满足条件． (ii)当a、b∈[1，＋∞)时，f(x)＝在[1，+∞)上为增函数，所以即于是a、b为方程x2－x＋1＝0的实根．而此时方程无实根，故此时也不存在实数a、b(a＜b)满足条件 (iii)当a∈(0，1)，b∈[1，＋∞)时，显然1∈[a，b]，而f(1)＝0，所以0∈[a，b]，矛盾． 综上可知，不存在实数a、b(a＜b)满足条件． (2)若存在实数a、b(a＜b)满足f(x)定义域是[a、b]，值域是[ma、mb](m≠0)，易得m＞0，a＞0． 仿(1)知，当a、b∈(0，1)或a∈(0，1)，b∈[1，＋∞)时，满足条件的实数a、b不存在． 只有当a、b∈[1，＋∞)时，f(x)＝在[1，＋∞)上为增函数，有 即于是a、b为方程mx2－x＋1＝0的两个大于1的实根． ∴只须解得0＜m＜，所以m的取值范围为0＜m＜． 12、解：设，则 从而原不等式可化为：即 ， 原不等式等价于不等式（1） （1）不等式恒成立等价于恒成立。从而只要。 又容易知道在上递减，。所以 13、证明(1).若A=φ，则AB 显然成立； 若A≠φ，设t∈A，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t∈B,从而 AB. 解 (2)：A中元素是