高等数学练习案答.docVIP

习题12?9 1? 求下列各微分方程的通解? (1)2y???y??y?2ex? 解 微分方程的特征方程为 2r2?r?1?0? 其根为? r2??1? 故对应的齐次方程的通解为 ? 因为f(x)?2ex ? ??1不是特征方程的根? 故原方程的特解设为 y*?Aex? 代入原方程得 2Aex?Aex?Aex?2ex? 解得A?1? 从而y*?ex? 因此? 原方程的通解为 ? (2)y???a2y?ex? 解 微分方程的特征方程为 r2?a2?0? 其根为r??ai? 故对应的齐次方程的通解为 Y?C1cos ax?C2sin ax? 因为f(x)?ex? ??1不是特征方程的根? 故原方程的特解设为 y*?Aex? 代入原方程得 Aex?a2Aex?ex? 解得? 从而? 因此? 原方程的通解为 ? (3)2y???5y??5x2?2x?1? 解 微分方程的特征方程为 2r2?5r?0? 其根为r1?0? ? 故对应的齐次方程的通解为 ? 因为f(x)?5x2?2x?1? ??0是特征方程的单根? 故原方程的特解设为 y*?x(Ax2?Bx?C)? 代入原方程并整理得 15Ax2?(12A?10B)x?(4B?5C)?5x2?2x?1? 比较系数得? ? ? 从而? 因此? 原方程的通解为 ? (4)y???3y??2y?3xe?x? 解 微分方程的特征方程为 r2?3r?2?0? 其根为r1??1? r2??2? 故对应的齐次方程的通解为 Y?C1e?x?C2e?2x? 因为f(x)?3xe?x? ???1是特征方程的单根? 故原方程的特解设为 y*?x(Ax?B)e?x? 代入原方程并整理得 2Ax?(2A?B)?3x? 比较系数得? B??3? 从而? 因此? 原方程的通解为 ? (5)y???2y??5y?exsin2x? 解 微分方程的特征方程为 r2?2r?5?0? 其根为r1? 2?1?2i? 故对应的齐次方程的通解为 Y?ex(C1cos2x?C2sin2x)? 因为f(x)?exsin2x? ??i??1?2i是特征方程的根? 故原方程的特解设为 y*?xex(Acos2x?Bsin2x)? 代入原方程得 ex[4Bcos2x?4Asin2x]?exsin2x? 比较系数得? B?0? 从而? 因此? 原方程的通解为 ? (6)y???6y??9y?(x?1)e3x? 解 微分方程的特征方程为 r2?6r?9?0? 其根为r1?r2?3? 故对应的齐次方程的通解为 Y?e3x(C1?C2x)? 因为f(x)?(x?1)e3x? ??3是特征方程的重根? 故原方程的特解设为 y*?x2e3x(Ax?B)? 代入原方程得 e3x(6Ax?2B)?e3x(x?1)? 比较系数得? ? 从而? 因此? 原方程的通解为 ? (7)y???5y??4y?3?2x? 解 微分方程的特征方程为 r2?5r?4?0? 其根为r1??1? r2??4? 故对应的齐次方程的通解为 Y?C1e?x?C2e?4x? 因为f(x)?3?2x?(3?2x)e0x? ??0不是特征方程的根? 故原方程的特解设为 y*?Ax?B? 代入原方程得 4Ax?(5A?4B)??2x?3? 比较系数得? ? 从而? 因此? 原方程的通解为 ? (8)y???4y?xcos x? 解 微分方程的特征方程为 r2?4?0? 其根为r??2i? 故对应的齐次方程的通解为 Y?C1cos2x?C2sin2x? 因为f(x)? xcos x?e0x(x×cos x?0×sin x)? ??i??i不是特征方程的根? 故原方程的特解设为