线段比及黄金分割法.docVIP

第八讲 线段的比及黄金分割 【基础知识精讲】 一、：线段的比 如果当用同一长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比AB：CD＝m：n或写成，其中线段AB，CD分别叫做这两条线段比的前项和后项，k叫做它们的比值． 说明：（1）两线段的比是指用同一种长度的单位度量的两线段长度的比 （2）两线段的比值与所用的长度单位无关． 二、比例尺：在地图或工程图纸上，图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 三、成比例线段： （1）成比例线段定义：四条线段a，b，c，d，中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段，其中a，d可称为比例外项，b，c可称为比例内项，d可称为a，b，c的第四比例项． (2).比例中项：如果（或），则b叫做a、c的比例中项。 四、比例的性质： 1.比例的基本性质：如果，那么。 2．更比性质：如果，那么。 3．反比性质：如果，那么。 4．合（分）比性质：如果，那么。 5．等比性质：如果，那么。 五、（1）黄金分割：点c把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC），如果，那么点c叫做线段AB黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，。 （2）黄金比:或0.618 (3)：作黄金分割点 求已知线段AB的黄金分割点 如图： 1、经过点B作BD⊥AB，且BD= 2、连接AD，在DA上截取DE＝DB． 3、在AB上截取AC＝AE，所以点C是线段AB的黄金分割点． 理由：设AB＝1，则BD＝，AD＝， AC＝，BC＝ 所以 所以点C是线段AB的黄金分割点． 【重难点高效突破】 【典型例题】 例1.（1）在1:50000的地图上的A、B两地的距离是15cm，则A、B两地的实际距离是_______km. （2）在比例尺为1：n的某市地图上，规划出一块长5cm×2cm的矩形工业区，则该工业区的实际面积是 平方米. （2）已知1，，5三个数，如果再添一个数，使之能与已知的三个数成比例，则这个数应该为___________________________？ 例2. 设，求的值． 分析：由已知条件利用解方程的思想不能求出x，y，z的值，因此用设参数法代入化简． 解：设＝k 则x＝2k，y＝3k，z＝4k 原式＝＝＝ 例3. 如果，且x＋y＋z＝12，求x，y，z的值． 解：设＝k，则x＝3k－4，y＝2k－3，z＝4k－8，代入 x＋y＋z＝12中，得3k－4＋2k－3＋4k－8＝12，解得k＝3 x＝3k－4＝3×3－4＝5 y＝2k－3＝2×3－3＝3 z＝4k－8＝4×3－8＝4 法二、设=k,然后用等比性质 例4、已知： 例5.已知一次函数y=kx-1中，比例系数k满足，试求直线y=kx-1与x轴的交点坐标. 提示：（1）当a+b+c=0时，k=-1,交点坐标为：（-1，0） （2）当a+b+c 0时，k= ,交点坐标为：（2，0） 例6. 如图所示，矩形ABCD是黄金矩形（即＝≈0.618），如果在其内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE，试问矩形ABFE是否也是黄金矩形？ 变式训练：如图：矩形ABCD是黄金矩形，DC为较短边，四边形CDEF为正方形，则四边形ABFE为黄金矩形，已知DC=10，求黄金矩形ABFE的面积（保留三位有效数字） 分析： 例7. 以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图所示， （1）求AM，DM的长， （2）试说明AM2=AD·DM （3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？ 解：（1）因为正方形ABCD的边长是2，P是AB中点，所以AD＝AB＝2，AP＝1，∠BAD＝90°，所以PD＝ 因为PF＝PD，所以AF＝，在正方形ABCD中，AM＝AF＝，MD＝AD－AM＝3－ （2）由（1）得AD×DM＝2（3－）＝6－2， 所以AM2=AD·DM （3）如图中的M点是线段AD的黄金分割点． 【课堂练习】 一、选择题 1、已知，则下列式子中正确的是（ C ） A. a∶b＝c2∶d2 B. a∶d＝c∶b C. a∶b＝（a＋c）∶（b＋d） D. a∶b＝（a－d）∶（b－d） 2、若ac＝bd，则下列各式一定成立的是（ B ） A. B. C. D. 3. 如果 ，则下列各式中能成立的是（?C?? ） ?? ?? ? ?? 4、已知点M将线段AB黄金分割（AM＞BM），则下列各式中不正确的是（ C ） A. AM∶BM＝AB∶AM B. AM＝A