高一数学家教-必修四三角函数.doc

第一章 三角函数（一） 1.4. 三角函数的图像与性质 一、正弦、余弦函数的图象 1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）： （1）函数y=sinx的图象 第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份. 第二步：在单位圆中画出对应于角，，,…，2π的正弦线. 把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（ “描点” ）. 第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象． 根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R的图象. （2）余弦函数y=cosx的图象 根据诱导公式,可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移单位即得余弦函数y=cosx的图象. 正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 思考：在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？ 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（五点法）： 正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (,1) (?,0) (,-1) (2?,0) 余弦函数y=cosx x?[0,2?]的五个点关键是：(0,1) (,0) (?,-1) (,0) (2?,1) 3．观察正（余）弦函数的图象总结规律： 自变量– – 函数值 正弦函数性质如下： 1）正弦函数的图象每隔2?重复出现一次（或者说每隔2k?,k?Z重复出现） 2）由诱导公式sin(2k?+x)=sinx可以说明此规律。 这种函数叫做周期函数。 当增加（）时，总有． 余弦函数也具有同样的性质，这种性质称之为周期性。 4．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。 周期函数x?M（定义域），则必有x+T?M； “每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数 y=sinx, y=cosx的最小正周期为2? （一般称为周期） 一般结论：函数及函数，（其中 为常数，且，）的周期； 作图练习： (1)y=1+sinx，x∈[0，2π]，　 （2）y=-COSx 二、正弦、余弦函数的性质 奇偶性 (1)余弦函数的图形 当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。 由于cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x). (2)正弦函数的图形 如果点（x,y）是函数y=sinx的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数y=sinx的图象上，所以函数y=sinx是奇函数，即f(-x)= -f(x)。 2.单调性 从y＝sinx，x∈［－］的图象上可看出： 当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1. 当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1. 结合周期性可知： 正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1； 在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1. 3.有关对称轴 观察正、余弦函数的图形，可知：y=sinx的对称轴为x= k∈Z ； y=cosx的对称轴为x= k∈Z 三、正切函数的性质与图象 1．正切函数的定义域： 2．正切函数的周期性： ， ∴是的一个周期。 作，的图象 正切函数的最小正周期是； ，且的图象，称“正切曲线”。 y 0 x 3．正切函数的性质： （1）定义域：； （2）值域：R ，当从小于，时，； 当从大于，时，。 （3）周期性：； 函数的周期． （4）奇偶性：由知，正切函数是奇函数； （5）单调性：在开区间内，函数单调递增。 习题： 1．判断下列函数的奇偶性 (1) (2) 2．函数f(x)＝sinx图象的对称轴是 ；对称中心是 . 3．求函数 的单调递增区间； 4．写出函数的对称轴；5. 的一条对称轴是（ ） (A) x轴， (B) y轴， (C) 直线， (D) 直