反函数和复合函数的求导法则.docVIP

二、反函数的导数法则 定理1：设为的反函数，若在的某邻域内连续，严格单调，且，则在（即点有导数），且。 证明： 所以 。 注1：，因为在点附近连续，严格单调； 2：若视为任意，并用代替，使得或，其中均为整体记号，各代表不同的意义； 3：和的“′”均表示求导，但意义不同； 4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数； 5：注意区别反函数的导数与商的导数公式。 求的导数， 解：由于，是的反函数，由定理1得： 。 注1：同理可证：； 2：。 求的导数。 解：利用指数函数的导数，自己做。 三、初等函数的求导公式 常数和基本初等函数的求导公式： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14） （15） （16） （17） （18） （19） （20） （21） （22） 四、复合函数的求导法则 复合函数的求导问题是最最常见的问题，对一复合函数往往有这二个问题：1.是否可导？2.即使可导，导数如何求？复合函数的求导公式解决的就是这个问题。 定理2（复合函数求导法则）：如果在点可导，且在 点也可导，那么，以为外函数，以为内函数，所复合的复合函数在点可导，且，或 证明： == 所以。 注 1：若视为任意，并用代替，便得导函数： ，或 或。 2：与不同，前者是对变量求导，后者是对变量求导，注意区别。 3：注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导。 4：复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去，如： 等。 求的导数。 解：可看成与复合而成， ，， 。 求（为常数）的导数。 解：是，复合而成的。 所以。 这就验证了前面§2、1的[例4]。 由此可见，初等函数的求导数必须熟悉(i)基本初等函数的求导；(ii)复合函数的分解；(iii)复合函数的求导公式；只有这样才能做到准确。在解题时，若对复合函数的分解非常熟悉，可不必写出中间变量，而直接写出结果。 【例5】，求。 解：。 【例6】，求。 解： 。 【例7】，求。 解： = =。 【例8】，求。 解： 。 【例9】 ， 即。同理，。 【例10】，求。 解： 。 同理： 。 小结： 1 、函数的四则运算的求导法则： 设，则 (i) (ii) (iii) (iv) 2、复合函数的求导法则： 设的导数为： 或 或