八年级数学竞赛讲座：第三十三讲 代数式的化简与求值.doc

第 PAGE 6页（共 NUMPAGES 6页） 第三十三讲 代数式的化简与求值 1．在前面几讲中我们分别学习了整式、分式以及根式的恒等变形与证明，其中也涉及到它们的化简与求值．本讲主要是把这兰种类型的代数式综合起来，其中求值问题是代数式运算中的非常重要的内容． 2．对于代数式的化简、求值，常用到的技巧有： (1)因式分解，对所给的条件、所求的代数式实施因式分解，达到化繁为简的目的； (2)运算律，适当运用运算律，也有助于化简； (3)换元、配方、待定系数法、倒数法等； (4)有时对含有根式的等式两边同时实施平方，也不失为一种有效的方法． 例题求解 【例1】已知，求的值． 思路点拨 由已知得(x－4)2=3，即x2－8x+13=0．所以原式=5． 注 本题使用了整体代换的作法． 【例2】已知：x+y+x=3a(a ≠0)，求：的值． 思路点拨 由得： 解设，，，∴ ∴原式=（可将两边平方的得到） 【例3】已知，求的值． 思路点拨 设 ∴，然后对和两种情况进行讨论，原式=和． 【例4】已知，，，求（1）的值：（2）的值． 思路点拨 先由条件求出，可得，． 注 这道题充分体现了三个数的平方和，三个数的立方和，及三个数四次方和的常规用法，这些常用处理方法对我们今后的学习是十分重要的． 【例5】 (2003年河北初中数学应用竞赛题)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a，第二次提价的百分率为b；乙商场：两次提价的百分率都是（a0，b0）；丙商场：第一次提价的百分率为b，第二次提价的百分率为a，则提价最多的商场是( ) A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定 思路点拨 乙商场两次提价后，价格最高．选B 【例6】 已知非零实数 a、b、c满足，，求的值． 思路点拨 原条件变形为： ∴ 为±1或0． 【例7】(2001年重庆市)阅读下面材料： 在计算3+5+7+9+11+13+15+17+19+21时；我机发现，从第一个数开始，以后的每个数与它的前一个数的差都是一个相同的定值．具有这种规律的一列数，除了直接相加外，我们还可以用公式计算它们的和．(公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值，d表示这个相差的定值．) 那么3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=． 用上面的知识解决下列问题： 为保护长江，减少水土流失，我市某县决定对原有的坡荒地进行退耕还林．从1995年起在坡荒地上植树造林，以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地，由于每年因自然灾害、树木成活率、人为因素等的影响，都有相同数量的新坡荒地产生，下表为1995、1996、1997年的坡荒地面积和植树的面积的统计数据．假设坡荒地全部种上树后，不再有水土流失形成新的坡荒地，问到哪一年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木． 1995年1996年1997年每年植树的面积（亩）100014001800植树后坡荒地的实际面积(亩)252002400022400思路点拨 1996年减少了25200－24000=1200， 1997年减少了24000－22400=1600， … m年减少了1200+400×(m—1996)． 1200+1600+…+1200+400(m—1996)=25200． 令n=m—1995，得 ，或（舍去） ∴ m =1995+n =2004． ∴ 到2004年，可以将坡荒地全部种上树木． 【例8】 ( “信利杯”)某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵{排数≥3)，且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( ) A．1种 B． 2种 C．4种 D．0种 思路点拨 设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为k，k+1，k+2，…，k+(n—1)，由题意可知，即n=200．因为k，n都是正整数，且n≥3，所以n2k+(n—1)，且n与2k+(n—1)的奇偶性不同．将200分解质因数，可知n=5或n=8．当n=5时，k=l8；当n=8时，k=9．共有两种不同方案．选B 【例9】 (江苏省竞赛初三)有两道算式： 好+好=妙，妙×好好×真好=妙题题妙， 其中每个汉字表示0~9中的一个数字，相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字．那么，“妙题题妙”所表示的四位数的所