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数字图像处理Digital Image Processing Chapter 4 Image Transformation Chapter 4 Image Transformation Background Why? 图像变换是将图像从空间（2D平面）变换到频率域。 变换的目的是根据图像在频率域的某些性质对其进行处理。通常，这些性质在空间域难以获取，在变换域处理完毕后，将处理结果再反变换到空间域。 Chapter 4 Image Transformation In 1807,Fourier proposed Fourier series. 任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和或余弦和的形式，每个正弦和或余弦乘以不同的系数。 Chapter 4 Image Transformation In 1822,Fourier proposed Fourier transformation. 甚至非周期的函数（曲线有限情况下）也可以用正弦或余弦乘以加权函数的积分来表示。 这就是Fourier变换，在大多数实际应用中比Fourier级数更广泛。 用Fourier级数或变换表示的函数特征可以完全通过Fourier反过程来重建，不丢失任何信息。 函数可以用“频率域”特征表示，而且转换回函数的原始域时不丢失任何信息。 Chapter 4 Image Transformation 20世纪50年代后期，数字计算机的出现和快速Fourier变换算法的“发明”在信号处理领域产生了巨大变革。这两个核心技术可以对人类本身的特殊信号和工业的重要信号进行实际处理和有意义的解释。 在数字图像应用领域，傅里叶变换起着非常重要的作用，用它可完成图像分析、图像增强及图像压缩等工作。 4.1 Continuous Fourier Transformation One-dimensional Fourier transform and its inverse transform 其中， ，x是时域变量，u是频域变量。 正反傅里叶变换的惟一区别是幂的符号。函数 f(x)和F(u) 被称作一个傅里叶变换对。 4.1 Continuous Fourier Transformation 这里 是实函数，它的傅里叶变换 通常是复函数。 的实部、虚部、振幅、能量和相位分别表示如下： Real part: Imaginary part: Amplitude: 4.1 Continuous Fourier Transformation Energy: Phase: 4.1 Continuous Fourier Transformation Fourier transform can be easily extended to two dimensional case. 设函数 是连续可积，且 可积，则存在如下的傅里叶变换对： 式中 是频率变量。 4.1 Continuous Fourier Transformation Two dimensional function Fourier spectrum, energy and phase spectrum: Fourier spectrum： Phase： Energy spectrum：