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5 三角形内角和定理 第2课时 1.了解三角形外角的概念. 2.掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明. 3.引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形的角作全面的思考，体会几何中简单不等关系的证明. 1.证明命题的一般步骤: (1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证); (2)根据题意,画出图形; (3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”; (4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”, 执“果”索“因”.); (5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程; (6)检查表达过程是否正确,完善. 2.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°. △ABC中,∠A+∠B+∠C= 180°. ∠A+∠B+∠C= 180°的几种变形: ∠A= 180°–(∠B+∠C). ∠B= 180°–(∠A+∠C). ∠C= 180°–(∠A+∠B). ∠A+∠B= 180°-∠C. ∠B+∠C= 180°-∠A. ∠A+∠C= 180°-∠B. 这里的结论,以后可以直接运用. A B C 如图. ∠1是△ABC的一个外角, ∠1与图中的其他角有什么关系? ∠1+∠4=180°； ∠1∠2； ∠1∠3； ∠1=∠2+∠3. A B C D 1 2 3 4 证明:∵∠2+∠3+∠4=180° (三角形内角和定理), ∠1+∠4=180° (平角的定义), ∴∠1= ∠2+∠3.(等量代换). ∴ ∠1∠2,∠1∠3(和大于部分). 用文字表述为: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 在这里,我们通过三角形的内角和定理 直接推导出两个新定理.像这样,由一 个基本事实或定理直接推出的定理, 叫做这个基本事实或定理的推论. 推论可以当做定理使用. 三角形内角和定理的推论: 定理: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 定理: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. A B C D 1 2 3 4 A B C D 1 2 3 4 △ABC中: ∠1=∠2+∠3; ∠1∠2,∠1∠3. 这个结论以后可以直接运用. 例1 已知:如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC, ∠B= ∠C. 求证:AD∥BC. 分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角相等” 或“内错角相等”或“同旁内角互补”. 证明:∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),∠B=∠C (已知), ∴∠C= ∠EAC(等式的性质). ∵AD平分 ∠EAC(已知). ∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义). ∴∠DAC=∠C(等量代换). ∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行). A C D B E 例题是运用了定理“内错角相等,两直线平行”得到了证实. 【例题】 例1 已知:如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC, ∠B= ∠C. 求证:AD∥BC. 分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角相等” 或“内错角相等”或“同旁内角互补”. 证明:推理可得: ∠DAC=∠C (已证), ∵∠BAC+∠B+∠C =180°(三角形内角和定理). ∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =180° (等量代换). ∴ AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行). 总结 这里是运用了定理“同旁内角互补,两直线平行”得到了证实. A C D B E 例2 已知:如图,在△ABC中, ∠1是 它的一个外角, E为边AC上一点,延 长BC到D,连接DE. 求证: ∠1∠2. C A B F 1 3 4 5 E D 2 【例题】 证明:∵∠1是△ABC的一个外角(已知), ∴∠1∠3(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角). ∵∠3是△CDE的一个外角 (外角定义). ∴∠3∠2(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角). ∴∠1∠2(不等式的性质). 把你所悟到的证明一个真命题的方法,步骤,书写格式以及注意事项转化为一种方法. A B C D 1.已知:如图所示,在△ABC中,外角∠DCA=100°,∠A=45°. 求:∠B和∠ACB的大小. 【跟踪训练】 【解析】∵∠DCA是△ABC的一个外角(已知), ∠DCA=100°(已知), ∠A=45°(已知), ∴∠B=100°-45°=55°.(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和). 又∵∠DCA+∠BCA=180°(平角定义). ∴∠ACB=80°(等式的性质). 2.已知:国旗上的正五角星形如图所示. 求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 分析:设法利用外角把这五个角“凑”到一个三角形中,运用三角形内角和定理来求解. A