空间直线及平面总结知识结构图例题.docVIP

【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 期中复习 ［知识串讲］ 空间直线和平面： （一）知识结构 （二）平行与垂直关系的论证 1、线线、线面、面面平行关系的转化： 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化： 3. 平行与垂直关系的转化： 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： （三）空间中的角与距离 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90° （2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （3）二面角：二面角的平面角θ，0°≤θ≤180° 2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角； （2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。 3. 空间距离：将空间距离转化为两点间距离——构造三角形，解三角形，求该线段的长。 4. 点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。 常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。 简单几何体： （一）棱柱（两底面平行，侧棱平行的多面体） （二）棱锥（底面是多边形，其余各面是由有一个公共顶点的三角形所围成的多面体） 定理：截面与底面平行 则有 正棱锥的性质 概率与统计 （一）散型随机变量的分布列 性质： 二项分布：  若 则 期望： 方差： （二）抽样方法 【典型例题】 例1. 如图，在四面体ABCD中作截面EFG，若EG，DC的延长线交于M，FG、BC的延长线交于N，EF、DB的延长线交于P，求证M、N、P三点共线。 证明：由已知，显然M、N、P在平面EFG上 又M、N、P分别在直线DC、BC、DB上 故也在平面BCD上 即M、N、P是平面BCD与平面EFG的公共点 ∴它们必在这两个平面的交线上 根据公理2. M、N、P三点共线 例2. 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么AM与CM所成角的余弦值为（ ） 分析：如图，取AB中点E，CC1中点F 连结B1E、B1F、EF 则B1E//AM，B1F//NC ∴∠EB1F为AM与CN所成的角 又棱长为1 ∴选D 例3. 其中正确的两个命题是（ ） A. ①与② B. ③与④ C. ②与④ D. ①与③ 分析： ∴②错 ∴④错 ∴①③正确，选D 例4. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。（1）证明PA//面EDB。（2）PB⊥平面EFD。 证：（1）连AC，AC交BD于O，连EO ∵底面ABCD是正方形 ∴点O是AC中点 又E为PC中点 ∴EO//PA ∴PA//面EDB （2）∵PD⊥底面ABCD ∴BC⊥PD ∴BC⊥面PDC ∴BC⊥DE 又E为等直角三角形中点 ∴DE⊥面PBC ∴DE⊥PB ∴PB⊥面DEF 例5. 正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB1⊥BC1，求证：A1C⊥BC1。 证明：设E、E1分别是BC、B1C1的中点，连AE，A1E1，B1E，E1C 注：三垂线定理是证明两直线异面垂直的常用手段。 例6. 下列正方体中，l是一条体对角线，M、N、P分别为其所在棱的中点，如何证明l⊥面MNP。 分析： ③如图，取棱A1A、DC、B1C1的中点，分别记为E、F、G，显然EMFNGP为平面图形，而D1B与该平面垂直 ∴l⊥面MNP 例7. ∠ACB=90°，侧棱与底面成60°的角。 分析： 证明： 又∠ACB=90°，即AC⊥BC ∴D为AC中点 例8. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D、E分别是AB、AC的中点，沿DE将△ABC折成直二面角，使A到A’的位置（如图