《矢量与场论》知识点归纳资料.pdfVIP

矢量分析与场论 实数域内任一代数即一个只有大小的量称之为标量，而一个既有大小又有方向特性的量 称之为矢量。无论是标量还是矢量，一旦被赋予物理单位，则成为一个具有物理意义的量即 所谓的物理量。物理量数值的无穷集合称为场。如果这个物理量是标量，就称其为标量场； 如果物理量是矢量就称这个场为矢量场。场的一个重要属性是它占有一个空间，而且在该空 间域内，除有限个点或表面外它是处处连续的。如果场中各处物理量不随时间变化，则称该 场为静态场，不然，则称为动态场或时变场。 本章从定义标量和矢量出发，讨论矢量在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系三种坐标 系中的表示法及其代数运算和相互关系；然后介绍了矢量及标量的微分和积分几及其性质； 最后引入亥姆霍兹定理，它是矢量场共同性质的总结。 1.1 矢量及其代数运算 一、标量和矢量 电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（scalar）和矢量(vector)。一 个仅用大小就能够完整地描述的物理量称为标量，例如，电压、温度、时间、质量、电荷等。 实际上，所有实数都是标量。一个有大小和方向的物理量称为矢量，电场、磁场、力、速度、 力矩等都是矢量。例如，矢量 A 可以写成 A a = = aA A A （1-1-1） 其中 A 是矢量A 的大小， a 的大小等于 1，代表矢量A 的方向。 一个大小为零的矢量称为空矢（null vector）或零矢（zero vector），一个大小为 1 的矢 a a 量称为单位矢量（unit vector）。在直角坐标系中，用单位矢量x 、y 和a z 表征矢量分别沿 x 、y 和z 轴分量的方向。 空间的一点 ( ,, ZYXP ) 能够用它在三个相互垂直的轴线上的 投影唯一地被确定如图 1-1 所示。从原点指向点 P 的矢量r 称为位 置矢量(position vector)，它在直角坐标系中表示为 aaar ZYX = x + + zy （1-1-2） 式中，,YX 和 Z 是r 在 x 、y 和z 轴上的标投影。 任一矢量A 在三维正交坐标系中都可以给出其三个分量。例 A 如，在直角坐标系中，矢量A 的三个分量分别是 Ax 、y 、Az ， a a 利用三个单位矢量x 、y 、a z 可以将矢量A 表示成： ++= aaaA AAA zzyyxx （1-1-3） 矢量A 的大小 A ： 1 ++= AAAA 222 2 ()zyx （1-1-4） 二、矢量的代数运算 1 矢量的加法和减法 任意两个矢量A 与 B 的相加等于两个矢量相应分量相加，它们的和仍然矢量，即