《实数》复习指导.docVIP

PAGE  第  PAGE 5 页 共  NUMPAGES 5 页 实数复习指导 山东 石少玉 复习目标 1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根. 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根. 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点是一一对应的关系. 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 5.在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值. 实数 无理数 实际问题 平方根 立方根 算术平方根 二次根式 化简 运算 平方 立方 知识结构梳理 重点剖析 正确理解平方根、算术平方根和立方根的概念和求法及实数化简和运算是重点.弄清平方根与算术平方根的区别和联系，实数的概念和性质是难点. 关键点扫描 把握住开方运算和乘方运算的关系，无理数的概念和实数的分类及的化简是关键. 复习要点透视 1.平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根（二次方根）.用数学语言表达即为：若，则叫做的平方根. （2）性质：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②0有一个平方根，它是0本身；③负数没有平方根. （3）求一个数的平方根的运算，叫做开平方的运算. （4）平方根的表示方法：一个数的平方根用符号“”表示，叫做被开方数，2叫做根指数.正数的负的平方根，用符号“－”表示；的平方根合记为“±”，其中“”读作“二次根号”，“”读作“二次根号下”，根指数为2时，通常省略不写.故正数的平方根也可记作“±”，读作“正、负根号下”. 2.立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于，这个数就叫做的立方根（也称的三次方根）.用数学式表示为：若，则叫做的立方根. （2）表示方法 类似于平方根的表示方法，数的立方根表示为“”，读作“三次根号下”，其中叫做被开方数，3叫做根指数.应当注意的是根指数3不能省略. （3）课本上用计算器求方根的一般操作顺序： 2ndf ON ①先按启动键 ；②按数字键输入被开方数；③按选择键 ；④按开方运算键 注：对于有平方根和立方根运算键的计算器也可直接按键求解. . 3.实数与数轴 （1）实数的定义：无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理数统称实数. （2）实数的分类：对于实数，我们可按定义分类如下： 由上述分类，我们发现有理数和无理数都有正负之分，所以 对实数我们还可按大小（即正负）分类为： （3）实数的相反数和绝对值：如果表示一个正实数，那么－就表示一个负实数，与－互为相反数；0的相反数依然是0；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，用式子可表示为：. （4）实数的运算：关于有理数的运算律和运算性质，在进行实数运算时仍然成立.在实数范围内进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，运算顺序依然是从高级到低级.值得注意的是，在进行开方运算时，正实数和零可以开任何次方，负数能开奇次方，但不能开偶次方. 思想方法总结 1.转化思想 在数学研究中，常常将复杂的问题转化为简单问题，将生疏问题转化为熟悉问题来处理.例如求一个负数的立方根，可以转化为求一个正数的立方根的相反数.另外，在实数的近似运算中，可根据问题的需要取近似值，转化成为有理数来计算，所以本单元很多知识都渗透和运用着转化思想. 2.分类思想 在本章中分类思想主要体现的对实数的分类上.一种是按定义分类，一种是按数的性质分类（见上文），值得注意的是，实数的分类还有其它方法，而各种分类方法各有所长、所用.又如在研究平方根、立方根的性质时，把数按正、负、0分类.分类有不同方法，但必须按同一标准分类，做到不重不漏. 例. （广东梅州）设是实数，则的值（ ）. （A）可以是负数 （B）不可能是负数 （C）必是正数 （D）可以是正数也可以是负数 解析：当时，；当时，.故选（B）. 3.数形结合思想 如何在数轴上作出表示的点？类似问题的解决，都与数形结合思想有关.数扩展到实数以后，实数与数轴上的点是一一对应的关系，即每一个实数都可以用数轴上的点来表示，反之，数轴上的点也都可用一个实数来表示. 例. （浙江绍兴）“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P所表示的数是”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（　　　） （A）代入法　　　　（B）换元法　　　　　（C）数形结合　　　　　（D）分类讨论 解析：本题不仅表示出了在数轴上的作法，还考查了以形表数的数学思想方法，应选（C）. 4.类比思想 通过类比可以发现新旧知识的相同点，利用已有知识来认识新知识，是我们学习中经常用到的一种方法. 经典考题解析 例1. （江西）设，则下列结论正确的是（