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第四章 3. 已知生产函数Q＝f(L， K)＝2KL－0.5L2－0.5K2， 假定厂商目前处于短期生产，且K＝10。 (1)写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量TPL函数、劳动的平均产量APL函数和劳动的边际产量MPL函数。(2)分别计算当劳动的总产量TPL、劳动的平均产量APL和劳动的边际产量MPL各自达到最大值时的厂商的劳动投入量。(3)什么时候APL＝MPL？它的值又是多少？ 解答：(1)由生产函数Q＝2KL－0.5L2－0.5K2，且K＝10，可得短期生产函数为 Q＝20L－0.5L2－0.5×102＝20L－0.5L2－50于是，根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有以下函数 劳动的总产量函数：TPL＝20L－0.5L2－50 劳动的平均产量函数：APL＝TPLL＝20－0.5L－50L 劳动的边际产量函数：MPL＝dTPLdL＝20－L (2)关于总产量的最大值：令dTPLdL＝0，即20－L＝0 解得　　L＝20且　　d2TPLdL2＝－1＜0 所以，当劳动投入量L＝20时，劳动的总产量TPL达到极大值。 关于平均产量的最大值： 令dAPLdL＝0，即 dAPLdL＝－0.5＋50L－2＝0 解得　　L＝10(已舍去负值)且d2APLdL2＝－100L－3＜0 所以，当劳动投入量L＝10时，劳动的平均产量APL达到极大值。 关于边际产量的最大值： 由劳动的边际产量函数MPL＝20－L可知，边际产量曲线是一条斜率为负的直线。考虑到劳动投入量总是非负的，所以，当劳动投入量L＝0时，劳动的边际产量MPL达到极大值。 (3)当劳动的平均产量APL达到最大值时，一定有APL＝MPL。由(2)已知，当L＝10时，劳动的平均产量APL达到最大值，相应的最大值为APL的最大值＝20－0.5×10－5010＝10将L＝10代入劳动的边际产量函数MPL＝20－L，得MPL＝20－10＝10。 很显然，当APL＝MPL＝10时，APL一定达到其自身的极大值，此时劳动投入量为L10。 6.假设某厂商的短期生产函数为 Q＝35L＋8L2－L3。 求：(1)该企业的平均产量函数和边际产量函数。 (2)如果企业使用的生产要素的数量为L＝6，是否处理短期生产的合理区间？为什么？ 解答：(1)平均产量函数：AP(L)＝Q(L)L＝35＋8L－L2边际产量函数：MP(L)＝dQ(L)dL＝35＋16L－3L2 (2)首先需要确定生产要素L投入量的合理区间。 在生产要素L投入量的合理区间的左端，有AP＝MP，有35＋8L－L2＝35＋16L－3L2。解得L＝0和L＝4。L＝0不合理，舍去，故取L＝4。 在生产要素L投入量的合理区间的右端，有MP＝0，于是，有35＋16L－3L2＝0。解得L＝－53和L＝7。L＝－53不合理，舍去，故取L＝7。 由此可得，生产要素L投入量的合理区间为[4,7]。因此，企业对生产要素L的使用量为6是处于短期生产的合理区间的。 11. 已知生产函数Q＝AL1/3K2/3。判断：(1)在长期生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一种类型？(2)在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配？ 解答：(1)因为Q＝f(L，K)＝AL1/3K/3 f(λL，λK) =A（λ）1/3（λK）/3=λAL1/3K1/3=λf(L,K)所以，此生产函数属于规模报酬不变的生产函数。(2)假定在短期生产中，资本投入量不变，表示；而劳动投入量可变，以L表示。对于生产函数Q=AL1/3K2/3，有：MPL=1/3AL-2/3K2/3，且d MPL/dL=-2/9 AL-5/3 -2/30 这表明：在短期资本投入量不变的前提下，随着一种可变要素劳动投入量的增加，劳动的边际产量是递减的。 相类似，在短期劳动投入量不变的前提下，随着一种可变要素资本投入量的增加，资本的边际产量是递减的。以上推导过程表明该生产函数在短期生产中受边际报酬递减规律的支配。3. 假定某企业的短期成本函数是TC(Q)＝Q3－5Q2＋15Q＋66。 (1)指出该短期成本函数中的可变成本部分和不变成本部分；(2)写出下列相应的函数： TVC(Q)、 AC(Q)、 AVC(Q)、 AFC(Q)和MC(Q)。 解答：(1)在短期成本函数TC(Q)＝Q3－5Q2＋15Q＋66中， 可变成本部分为TVC(Q)＝Q3－5Q2＋15Q； 不变成本部分为TFC＝66。(2)根据已知条件和(1)，可以得到以下相应的各类短期成本函数TVC(Q)＝Q3－5Q2＋15QAC(Q)＝TC(Q)Q＝ (Q3－5Q2＋15Q＋66)Q＝Q2－5Q＋15＋66Q AVC(Q)＝TVC(Q)Q＝ (Q3－5Q2＋15Q)Q＝Q2－5Q＋15AFC(Q)＝TFCQ＝66Q MC(Q)＝dTC(Q)dQ