含有参数不等式恒成立问题处理策略初探(08.11.8).docVIP

含有参数的不等式恒成立问题的处理策略初探 株洲市南方中学 412002 刘亚利 E-mail： HYPERLINK mailto:yaliliu.2008@163.com yaliliu.2008@163.com  HYPERLINK mailto:liuyali9608159@ liuyali9608159@ QQ：346844311 Tel含有参数的不等式恒成立问题是近几年高考中的热点问题, 是全面考察数学基本思想、基本方法和基本能力的一类重要题型。这类问题与数学其它方面的知识联系紧密，综合性强，题型多变，方法灵活。 在一个不等式中至少含有两个变元，其中一些是已知范围的变元，一些需要求解的未知变元，“含有参数的不等式恒成立问题”是指“已知变元在其范围内变化时不等式（组）恒成立，求解未知变元的取值范围的问题”。求解这类问题的思路是将复杂问题转化为简单问题，常见策略是转化策略。把问题A通过一定的手段进行转化，归结为问题B，而问题B是相对容易解决的问题或已有固定的解决程式的问题，且通过B的解决，能够得到A的解决。常见的转化策略有如下三种： 一.运用“同构”思想：转化为与之对应的函数，利用函数的图像、性质求解 【例1】：（2008年青岛模拟）已知函数f（x）=x2+ax+3，当x ∈[－2，2]时，f（x）≥a恒成立，则a的取值范围 。 【解析】：当x ∈[－2，2]时，x2+ax+3－a≥0恒成立。设g（x）= x2+ax+3－a y x o -2 2 o y x -2 2 分如下三种情况讨论（如图所示）： x o -2 2 y 如图（1） 如图（2） 如图（3） 如图（1），当g（x）的图象恒在x轴上方，满足条件时，有△=a2－4（3－a）≤0，即－6≤a≤2。 如图（2），g（x）的图象与x轴有交点， △≥0 但在x∈[－２，＋∞）时，g（x）≥0，即 x=－＜－２ a∈ g（－２）≥0 ③如图（2），g（x）的图象与x轴有交点， △≥0 但在x∈[－２，＋∞）时，g（x）≥0，即 x=－＞－２ a ∈[－7，2] g（－２）≥0 ∴a的取值范围为a ∈[－7，2]。 不等式和函数是两个不同的代数结构，两个代数结构是一一对应的，一一对应的两个代数结构是同构的。因此含有参数的不等式f(x) ＞（≥）或＜（≥）0对x∈D恒成立，可以转化为函数y=f（x）的图像在x∈D上恒在x轴的上（下）方，然后通过图像的位置关系寻找参数满足的充要条件，再求参数的取值范围。 二.运用变量思想：分离参数，转化为函数最值问题 【例2】：若不等式组 at2－t+a≥0 对t∈(0，2)恒成立，则a的取值范围是 。 at2－2t－1≤0 【解析】：∵t∈(0，2) ∴可将不等式组变形为： a≥ a≤ ∴a≥且a≤对t∈(0，2)恒成立， ∴当t∈(0，2) 时a≥（）max且a≤（）min ∴a∈[，] 将已知变元和未知变元分离开后，根据已知变元的取值范围可先求出含已知变元的函数的最大值和最小值，然后求出未知变元的取值范围。即f(x )≥a对x∈D上恒成立[f(x )]min≥a（x∈D）；f(x ) ≤a对x∈D上恒成立 [f(x )]max≤a（x∈D）。 三.运用数形结合思想：转化为函数图象的位置关系，用运动变化的思想求解 ax + 【例3】：已知a＞0且a≠1，函数f（x）=x2－ax，当x∈（－1，1）时，恒有f（x）＜成立，求实数a的取值范围。 【解析】：设函数g（x）=x2，h（x）=ax+，则当x∈（－1，1）时，不等式f（x）＜等价转化为g（x）＜h（x）。在同一坐标系内作出函数g（x）、h（x）的图象，如图，当a＞1时， ∴a∈[，1）∪（1，2] 含有式子x2和ax的不等式的问题的处理方法，不同于一般的整式不等式、分式不等式和一些单纯的指数对数不等式的处理方法，需要对含有x2的一元二次的式子和含有ax的式子分别对待，利用其图象的位置关系和函数性质来处理，要注意“数形结合”数学思想的运用。 通过找适当的映射实现转化（化归），被著名数学方法论专家徐利治称为关系映射反演原则，简称RMI原则。我们在解决“含有参数的不等式恒成立”问题时，选择的解题策略有多种，上面三种不同的转化策略是“R