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线性规划问题建模和求解 例 雅致家具厂生产计划优化问题 雅致家具厂生产4种小型家具，由于该四种家具具有不同的大小、形状、重量和风格，所以它们所需要的主要原料（木材和玻璃）、制作时间、最大销售量与利润均不相同。该厂每天可提供的木材、玻璃和工人劳动时间分别为600单位、1000单位与400小时，详细的数据资料见下表。问： （1）应如何安排这四种家具的日产量，使得该厂的日利润最大？ （2）家具厂是否愿意出10元的加班费，让某工人加班1小时？ （3）如果可提供的工人劳动时间变为398小时，该厂的日利润有何变化？ （4）该厂应优先考虑购买何种资源？ （5）若因市场变化，第一种家具的单位利润从60元下降到55元，问该厂的生产计划及日利润将如何变化？ 表1 雅致家具厂基本数据 家 具 类 型劳 动 时 间 （小时/件）木 材 （单位/件） 玻 璃 （单位/件）单位产品利润 （元/件）最大销售量 （件）1 2 4 6 60 100 2 1 2 2 20 200 3 3 1 1 40 50 4 2 2 2 30 100 可提供量 400小时 600单位 1000单位解：依题意，设置四种家具的日产量分别为决策变量x1,x2,x3,x4,目标要求是日利润最大化，约束条件为三种资源的供应量限制和产品销售量限制。 据此，列出下面的线性规划模型： ①②③④⑤⑥⑦⑧ 其中X1,X2,X3,X4分别为四种家具的日产量。 下面介绍用Excel中的“规划求解”功能求此题。 第一步 在Excel中描述问题、建立模型，如下图所示。 第二步 在“工具”菜单中选择“规划求解”。 第三步 在“规划求解参数”对话框进行选择如下图。 第四步 点击“选项”按钮，弹出“规划求解选项”对话框。 第五步 选择“采用线性模型”和“假定非负”，单击“确定”，返回下图。单击“求解”，即可解决此题。 最后结果如下页图所示。 与此结果对应的敏感性报告如下表所示。 说明：（1）可变单元格表中，终值对应决策变量的最优解；递减成本指目标函数中决策变量的系数必须改进多少才能得到该决策变量的正数解，改进对最大值为增加，对最小值为减少。（2）允许的增量（或减量）指在保证最优解不变的前提下，目标函数系数的允许变化值。（3）在约束表中，终值是指约束的实际用量；影子价格式指约束条件右边增加（或减少）一个单位，目标值增加（或减少）的数值；这里的允许的增量（或减量）是指在影子价格保持不变的前提下，终值的变化范围。 根据模型运行结果可作出如下分析： (1)由模型的解可知，雅致家具厂四种家具的最优日产量分别为100件、80件、40件和0件，这时该厂的日利润最大，为9200元。 本问题的敏感性报告如上页表所示。 由上述敏感性报告可进行灵敏度分析，并回答题目中的问题(2)一(5)。 (2)由敏感性报告可知，劳动时间的影子价格为12元，即在劳动时间的增量不超过25小时的条件下，每增加l小时劳动时间，该厂的利润(目标值)将增加12元。 因此，付给某工人10元以增加l小时劳动时间是值得的，可多获利为： 12—10＝2(元)。 (3)当可提供的劳动时间从400小时减少为398???时时，该减少量在允许的减量(100小时)内，所以劳动时间的影子价格不变，仍为12元。 因此，该厂的利润变为： 9200+12X(398—400)＝9 176(元)。 (4)由敏感性报告可见，劳动时间与木材这两种资源的使用量等于可提供量，所以它们的约束条件为“紧”的，即无余量的；而玻璃的使用量为800，可提供量为1000，所以玻璃的约束条件是“非紧”的，即有余量的。 因此，应优先考虑购买劳动时间与木材这两种资源。 (5)由敏感性报告可知，家具1的目标系数(即单位利润)允许的减量为20，即当家具1的单位利润减少量不超过20元时，最优解不变。因此，若家具1的单位利润从60元下降到55元，下降量为5元，该下降量在允许的减量范围内，这时，最优解不变。 因此，四种家具的最优日产量仍分别为100件、80件、40件和0件。 最优值变为： 9200+(55－60)X100＝8 700(元)。