第九章 第7节第九章 7节.docVIP

§9．7　抛物线 1．抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程y2＝2px (p0)y2＝－2p x(p0)x2＝2py (p0)x2＝－2py (p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝－eq \f(p,2)x＝eq \f(p,2)y＝－eq \f(p,2)y＝eq \f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下[难点正本　疑点清源] 1．抛物线的定义 抛物线的定义实质上给出了一个重要的内容：可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简． 2．抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，eq \f(p,2)等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益． 3．求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程． 1．抛物线y2＝8x上到焦点的距离等于6的点的坐标是______________． 2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1的右焦点重合，则p的值为________． 3．动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________． 4．(2010·湖南)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是 (　　) 　 A．4 B．6 C．8 D．12 5．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 (　　) A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) B．[－2,2] C．[－1,1] D．[－4,4] 题型一　抛物线的标准方程及几何性质 例1　如图，已知抛物线y2=2px (p0)的焦点为F， A在抛物线上，其横坐标为4，且位于x轴上方， A到抛物线准线的距离等于5．过A作AB垂直 于y轴，垂足为B，OB的中点为M． (1)求抛物线方程； (2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标． 探究提高　(1)求抛物线的标准方程常采用待定系数法，未知数只有p，可利用题中已知条件确定p的值．注意到抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． (2)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征． 如图，已知抛物线y2=2px (p0)有 一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边 OA与OB的长分别为1 和8，求抛物线方程． 题型二　抛物线的定义及应用 例2　已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标． 探究提高　重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径． 已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，4))，则|PA|＋|PM|的最小值是 (　　) 　A．eq \f(7,2) B．4 C．eq \f(9,2) D．5 题型三　直线与抛物线的位置关系 例3　如图，倾斜角为α的直线经过抛物线 y2=8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点， (1)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程； (2)若α为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos 2α为定值，并求此定值． 探究提高　(1)直线与