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国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组 2005 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承  诺  书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛的题目是：  B 题：DVD 在线租赁 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：  国防科大 参赛队员 (打印并签名) ：1.  刘  健 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人  张云安 李宝娟 (打印并签名)： 指导教师组 日期：  2005  年 9 月 19 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2005 年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖  1 国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组 2005 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 2005 年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖  2 国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组 DVD 在线租赁 摘要 本问题是一个 DVD 在线租赁中，网站方如何对于市场进行需求预测、如何对 DVD 进行分配才能同时最好的实现其经济效益和社会效益。 第一问中，基于需求预测基础上的 DVD 购买方案设计中，我们分别考虑了悲观情 况和均值情况。为了保证希望看到某种 DVD 的会员中，有 50%以上在一个月内能看到 该 DVD，在悲观情况下，各种 DVD 的购买量分别为：9000，4500，2250，1125，450。 在均值情况下，各种 DVD 的购买量分别为：6250，3125，1563，720，313。为了保证 在三个月内 95%以上的会员能够看到，在悲观情况下，各种 DVD 的购买量分别为：4500， 2250，1125，563，225。在均值情况下，各种 DVD 的购买量分别为：3959，1980，990， 495，198。最后，不考虑具体的会员的借还 DVD 时间，我们使用概率的方法解决了该 问题。结果与均值情况相近。 对于第二问，对于当前订单的分配方案确定。我们建立了 0-1 规划模型，求得此时 的最大满意度为 24746，我们给出了此时的最优分配方案。 第三问，是一个多目标规划问题，既要考虑使得会员的满意度尽量大，还要使得网 站所购买的总的 DVD 数目最少，在具体处理时，我们让会员满意度在一定的范围内变 动，给出各种情况下使得总 DVD 数最少的方案。其中当会员相对满意度为 0.8 时的最 少 DVD 总数为 2059 张。 分析第三问的结果，我们发现了有趣的双峰现象，并对其合理性进行了阐述。同时， 我们还可以发现，会员相对满意度与最少 DVD 之间呈现总数近似线性的关系。如下表 所示： 对于网站而言，其经营管理的目的是获得最大的经济效益，不同的租赁模式设置下 网站会得到不同的经济效益，第四问中我们讨论网站经营管理的最优模式。求得了在一 种情况下，限定每月最多租赁两次的情况下，得到使得网站的效益达到最大时，应该限 定每个会员每次租赁最多 2 张 DVD。同时讨论了对于限定每次最多租赁 3 张 DVD 的情 况下，最佳的租赁次数限制。 本文论证严密，所给出的结果具有启发性和借鉴意义。 2005 年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖  3 国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组 一 问题重述 随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站 利用其强大的资源和知名度，面向其会