第九章常微分方程数值解法.ppt.ppt

第九章　常微分方程数值解法 这就是改进Euler公式，故其为二阶方法。 K1 K2 xn xn+1/2 xn+1 经典三阶RK公式（右端类似Simpson公式） 经典四阶RK公式 xn xn + h/2 xn + h K1 K2 K3 K4 经典四阶RK公式的几何意义 说明： 4阶Runge-Kutta方法 Euler Euler_mod midpoint RK4 n = 10 Euler Euler_mod midpoint RK4 n = 20 §4 线性多步法 单步法的一般形式： xn-2 xn-1 xn+1 = xn+h xn 4.1 线性多步公式的导出 利用Taylor展开 结论： 4.2 常用的线性多步公式 四阶Adams显式公式 四阶Adams隐式公式 1. Adams公式 （二）Milne公式 （三）Hamming公式 * * 常微分方程( ODEs 未知函数是一元函数) 偏微分方程( PDEs 未知函数是多元函数) 微分方程 常微分方程 一阶方程：如 二阶方程 ：如 同一个微分方程,具有不同的初始条件 (1) 用差商近似导数 差分方程初值问题 Euler方法 微分方程离散化的方法 若用向后差商近似导数，即 向后Euler方法 （2）用数值积分方法　 若对积分用梯形公式，则得 梯形公式 （3）用Taylor多项式近似 Euler方法 §1　Euler方法 的解作为微分方程初值问题的数值解，即 以差分方程初值问题 1.Euler方法 x0 x1 x2 x3 y0 h h h 用分段折线逼近曲线 解：Euler公式为 当h=0.5时 当h=0.25时 0 0.5 0.75 1.0 1 0.25 h = 0.5 h = 0.25 1.2　Euler方法的误差估计 y h h h 对Euler方法，局部截断误差 Euler方法的整体截断误差 §2 改进Euler方法 2.1 梯形公式 求解公式 或用梯形公式的误差 2.2 改进Euler法 称为Euler公式与梯形公式的预测—校正系统。 实际计算时，常改写成以下形式 predictor corrector §3 Runge—Kutta法 1. RK方法的构造 RK公式的一般形式为 K1 K2 xn+a2h xn+1 = xn+h 加权平均斜率 c1 K1 + c2 K2 xn