椭圆单元操作说明与学习单.doc

動態幾何教學系統--二次曲線教學 單元02橢圓--操作說明 一、教學目標 1. 首先由動態觀點，來認識橢圓的產生。 2. 由橢圓的定義及橢圓的尺規作圖來認識拋物線。 3. 再以解析法推導出橢圓的標準式及經過平移、伸縮後的橢圓方程式、作為進一步探討橢圓的基礎。 二、使用環境 1. 本教學系統由網頁建置，請先安裝 java 6 環境 /zh_TW/download/ 2. 立體3D操作環境，請先安裝 Cabri 3D Plugin，並建議使用IE、Opera瀏覽器 win -- /data/cabri3d/212/Cabri3D_Plugin_212c_Win.exe mac -- /data/cabri3d/212/Cabri3D_Plugin_212_Mac.zip 3. 執行【index.html】 三、建議教學與操作流程 1. 引起動機--木匠如何繪製橢圓 2. 橢圓定義 3. 繩長與焦距的關係 4. 推導橢圓方程式 5. 藉由操作了解橢圓的產--拖曳A點，觀察P點軌跡 6. 推導出橢圓的長軸方向方程式 7. 例題1--地球繞太陽的公轉軌道是橢圓 8. 例題2--求橢圓的中心、長軸頂點、短軸頂點及焦點的坐標，並畫出圖形 9. 例題3--求橢圓的中心、長軸頂點、短軸頂點及焦點的坐標，並畫出圖形 10. 圖形伸縮的推導 11. 將橢圓伸縮 3 倍--操作滑杆，觀察圖形伸縮的變化 12. 橢圓參數式的推導 13. 操作橢圓的平移1--藉由操作觀察圖型平移後與方程式的變化 本範例需要在上網的情況才能執行，第一次執行會慢一些，請等待，使用瀏覽器FireFox的效果優於IE9 15. 例題5--求橢圓的中心、長軸頂點、短軸頂點及焦點的坐標，並畫 出圖形 網頁樹狀選單如下，延伸教學部分，請教師視情況使用： 延伸1 橢圓的切線--已知橢圓上任一點P，求過P點做橢圓的切線。 延伸2 模擬摺出橢圓--用ggb模擬摺紙的方式來摺出橢圓軌跡 延伸3 橢圓的內接直角三角形以頂點為直角頂，斜邊必過定點 延伸4 立體圓錐截面 (A) 平面交圓錐面 (B) Dandelin橢圓 (C) 圓錐曲線--橢圓製作的詳細過程，分解動作製圖順序 延伸5 尺規作圖-作焦點--橢圓作圖求中心和焦點 4-2橢圓【學習單】 甲、橢圓的基本性質 在橢圓 Γ中，兩焦點連接線段 FF 的中點 O稱為 Γ的中心，直線 FF 與 Γ的交點A, A 稱為頂點， 稱為長軸；過中心 O 且垂直於長軸的直線與 Γ的交點B,B 也稱為頂點，稱為短軸。長軸與短軸的交點就是中心，橢圓對長軸，短軸都對稱，也對中心對稱。 橢圓上的點到兩焦點的距離和恆為定值2a，= 2a 是長軸的長，a 稱為半長軸，= 2b 是短軸的長，b 稱為半短軸，又之長以 c 表示（ = 2c）??因為 = a，且?BOF 是直角三角形（如右圖），故 a b, a c，且a, b, c 滿足關係式 a2 = b2 + c2 。 例1：已知地球繞太陽的公轉軌道是橢圓，太陽位於其中一個焦點，軌道上的遠日點及近日點都在長軸頂點，且分別距離太陽1.5210 × 108 公里及1.4710 × 108 公里，求橢圓軌道的半長軸及半短軸。 . 已知月球繞地球的公轉軌道是橢圓，地球位於其中一個焦點，軌道上的遠地點及近地點都在長軸頂點，且分別距離地球4.057 × 105 公里及 3.631 × 105 公里，求橢圓軌道的半長軸及半短軸。 乙、橢圓的標準式 當點 P (x, y) 在橢圓上時： 通常，我們將它表為 如果將一個半長軸為a，半短軸為b，焦點到中心的距離為c 的橢圓豎立在坐標平面的中央，橢圓的中心在原點，長軸在y 軸上，短軸在x 軸上，如右圖： 其方程式為 例2：求橢圓 的中心、長軸頂點、短軸頂點及焦點的坐標，並畫出圖形。 在坐標平面上畫出橢圓 並在圖形上標示頂點及焦點的坐標。 例3：求橢圓 的中心、長軸頂點、短軸頂點及焦點的坐標，並畫出圖形。 在坐標平面上畫出橢圓 並在圖形上標示頂點及焦點的坐標。 以 k 0 時 的圖形是橢圓，它可由橢圓 伸縮 k 倍而得。 例4：將橢圓 伸縮 3 倍，所得橢圓方程式為何？ 將橢圓 伸縮 倍，所得橢圓方程式為何？ 當a b 0 時，半長軸為 a，半短軸為b 的橢圓，可由半徑為 1 的圓，在長軸方向伸縮 a 倍，短軸方向伸縮 b 倍而得。 丙、橢圓的平